Základy matematiky — podzim 2004 — 2. opravný termín — 28.1.2005
1.   (8krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Existuje bijekce z množiny IR do množiny Q.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: g o f je bijekce  =>-  (f je bijekce V g je bijekce ).
(c)   ano — ne    Pokud binární relace R na množině A je symetrická, pak R~l je antisyme-trická.
(d)   ano — ne   Pokud R je uspořádání množiny A, pak R~l je také uspořádání množiny A.
(e)   ano — ne    Pro libovolnou uspořádanou množinu (A, <) je identické zobrazení
id a '■ (A, <) —► (A, <) izotonní.
(f)   ano — ne    Podgrupy dané grupy tvoří úplný svaz vzhledem k uspořádání inkluzí.
(g)   ano — ne    Zobrazení / : IR —► IR dané předpisem f(x) = \x\ je homomorfismem grupy (E, +) do sebe.
(h) ano — ne    Podokruh tělesa je těleso.
2.   (7 bodů) Definujte pojem relace mezi množinami A, B. Pomocí něj definujte formálně pojem zobrazení z množiny A do množiny B. Definujte pojmy injektivní, surjektivní a bijektivní zobrazení.
3.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   množin A a. B takových, aby A C B a zároveň B C V (A);
(b)   relace ekvivalence p na množině N takové, aby některá třída rozkladu N/p měla nekonečně mnoho prvků;
(c)   uspořádané množiny, která má maximální prvek, jež je zároveň minimální;
(d)   binární relace na množině N, která je současně symetrická a antisymetrická;
(e)   binární operace na množině V(N), která je asociativní a má neutrální prvek.
4.   (10 bodů) Na množině M = Q x Q definujeme binární operaci o vztahem (a, b) o (c, d) = (a + c — ac,b + d), pro a,b,c,d E Q. Dokažte, že operace o je asociativní. Rozhodněte, zda je operace o komutativní. Existuje pro o neutrální prvek? Je (M, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
5.   (10 bodů) Nechť konečná množina A má 6 prvků. Určete kolik je bijekcí / : A —► A, které jsou inverzní samy k sobě (tj. / = f~1)- Výpočet komentujte.
6.   (10 bodů) Na množině Q je definována binární relace p vztahem xpy -<=>- (3a, b E N)(ax = by), pro x,y E Q. Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině Q. Popište rozklad Q\p. Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
7.   (10 bodů) Definujme binární relaci ^ na množině Z takto: x <y <í=^ (x = y V \x\ < \y\), pro x,y E Z. Dokažte, že ^ je uspořádání na Z. Naznačte Hasseovský diagram uspořádané množiny (Z, ^). Popište minimální a maximální prvky (Z, ^). Rozhodněte, zda má libovolná dvouprvková podmnožina v (Z, ^) supremum. Odpovědi zdůvodněte.
8.   (10 bodů) Buď dána množina M = V (N) x V (N). Na množině M definujeme uspořádání ^ takto: (X,Y) X (X',Y') ^(ICI'AľC Y'), pro X,Y, X',Y' E V (N). Definujme dále zobrazení / : M —► V (N) předpisem f ((X, Y)) = X -^ Y. Rozhodněte, zda je zobrazení / surjektivní. Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní. Je zobrazení / : (M, ^) —► ('P(N), C) izotonní? Rozhodněte, zda je (M, ^) úplný svaz. Odpovědi zdůvodněte.