(Drsná) Matematika
Martin Panák, Jan Slovák
Přednáška 3
i
35
1.21. Podmíněná pravděpodobnost. Dotazy s do-
datečnou podmínkou:
Např. ,,jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěmi
kostkami padly dvě pětky, je-li součet hodnot deset? .
Nechť H je jev s nenulovou pravděpodobností v je-
vovém poli A v pravděpodobnostním prostoru (, A, P).
Podmíněná pravděpodobnost P(A|H) jevu A  A vzhle-
dem k hypotéze H je definována vztahem
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
.
Věta o násobení pravděpodobností pro jevy A1, . . . , Ak
splňující P(A1      Ak) > 0:
P(A1      Ak) =
= P(A1)P(A2|A1)    P(Ak|A1      Ak-1).
Pokrácení čitatelů a jmenovatelů přímo dá výsle-
dek.
36
1.22. Geometrická pravděpodobnost. Často složi-
tějšími modely, kde základní prostor není konečnou mno-
žinou.
Uvedeme jednoduchou ilustraci.
Rovina R2
dvojic reálných čísel, podmnožina  se
známým obsahem vol  (symbol ,,vol od anglického
,,volume , tj. obsah/objem). Např. jednotkový čtverec.
Náhodné jevy ­ podmnožiny A  .
Jevové pole A ­ systém podmnožin, u kterých umíme
určit jejich obsah (třeba všechna konečná sjednocení
trojůhelníků).
Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výbě-
rem bodu v , kterým se trefíme nebo netrefíme do
množiny reprezentující jev A.
Podobně jako u klasické pravděpodobnosti je prav-
děpodobnostní funkce P : A  R
P(A) =
vol A
vol 
.
37
Příklad: náhodně vyberem dvě hodnoty a < b v
intervalu (0, 1)  R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně
pravděpodobné.
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b)
bude mít velikost alespoň jedna polovina?.
(viz tabule)
Výpočetní metody Monte Carlo:
Simulace známé pravděpodobnosti pomocí relativní
četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu.
Např. obsah jednotkového kruhu je roven konstantě
 = 3, 1415 . . . .
Volíme za  jednotkový čtverec a za A průnik jed-
notkového kruhu se středem v počátku.
Pak vol A = 1
4 .
Obdobné úlohy na geometrickou pravděpodobnost
lze bezezbytku formulovat v R3
a obecněji.
38
5. Geometrie v rovině
1.23. Afinní rovina a vektorový prostor R2
. Ne-
konečná deska bez jakýchkoliv zvolených měřítek a po-
pisů, ale a víme, co to znamená posunout se v libovol-
ném násobku nějakého směru.
Volba (afinního) souřadného systému v rovině ­
bod O je jeho počátkem, posunutí E1 -O ztotožňujeme
s dvojicí [1, 0], podobně u E2 s [0, 1].
Obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí
čísel [a, b] = P - O.
Posunutí umíme skládat (budeme říkat ,,sčítat ) a
také jednotlivé směry násobit v poměru každého reál-
ného čísla (budeme říkat ,,násobit skalárem ).
Podobné vlastnosti ke sčítání a násobení skalárů ­
dvourozměrný reálný vektorový prostor.
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 39
1.24. Přímky v rovině. Přímka je podmnožina p 
A v rovině taková, že existují bod O a vektor v takové,
že
p = {P  A; P - O = t  v, t  R}.
Popišme si P = P(t)  p ve zvolených souřadnicích
s volbou v = (, ):
x(t) = x0 +   t, y(t) = y0 +   t.
Spočteme
-x + y + (x0 - y0) = 0.
To je obecná rovnice přímky
(1.2) ax + by = c,
se známým vztahem dvojice čísel (a, b) a vektoru v =
(, )
(1.3) a + b = 0.
40
Výraz nalevo v rovnici přímky ­ skalární funkce F
závislá na bodech v rovině a s hodnotami v R.
Rovnice ­ požadavek na její hodnotu. Vektor (a, b)
je směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Směr kolmý
na (a, b) je směrem, ve kterém zůstává F konstantní.
Konstanta c určuje, pro které body bude tato kon-
stanta nula.
Dvě přímky p a q ­ jaký je průnik p  q?
Je to bod, splňující obě rovnice přímek naráz.
(1.4)
ax + by = r
cx + dy = s.
Levá strana ­ přiřazení, které každé dvojici souřad-
nic [x(P), y(P)] bodů v rovině přiřadí vektor hodnot
dvou skalárních funkcí F1 a F2 daných levými stranami
jednotlivých rovnic (1.4).
F(v) = w
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 41
1.25. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F re-
spektuje operace sčítání a násobení s vektory a skaláry:
F(a  v + b  w) = a  F(v) + b  F(w)
pro všechny a, b  R, v, w  R2
.
Říkáme: F je lineární zobrazení z R2
do R2
.
Píšeme F : R2
 R2
. Obdobně, v rovnici 1.2 pro
přímku šlo o lineární zobrazení F : R2
 R a jeho
předepsanou hodnotu c.
Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí
matic a jejich násobení:
A =
a b
c d
, v =
x
y
A  v =
a b
c d

x
y
=
ax + by
cx + dy
.
42
Podobně, místo vektoru v můžeme zprava násobit
jinou maticí B stejného rozměru jako je A ­ aplikace
předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B.
Platí asociativita násobení:
(A  B)  v = A  (B  v).
Platí distributivita A  (B + C) = A  B + A  C, neplatí
však komutitativita a existují ,,dělitelé nuly . Např.
0 1
0 0

0 0
0 1
=
0 1
0 0
,
0 0
0 1

0 1
0 0
=
0 0
0 0
.
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 43
Body v rovině ­ obecně vzory hodnot lineárních
zobrazení F roviny do roviny.
Přímky ­ obecně vzory hodnot lineárních zobrazení
z roviny do reálné přímky R.
Ve zvláštních situacích je to jinak:
Průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka
(a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobra-
zení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor
nuly celou rovinu.
oznáme pomocí vztahu
(1.5) det A = ad - bc = 0
­ nalevo jsou v rovnicích stejné výrazy až na skalární ná-
sobek. Pak v průniku buď žádný bod (rovnoběžné různé
přímky) nebo tam jsou všechny body přímky (stejné
přímky).
Výrazu nalevo v (1.5) říkáme determinant matice
A.
44
Dovolíme přičítání pevných vektorů T = (x(T), y(T)),
v =
x
y
 A  v + T =
ax + by + x(T)
cx + dy + y(T)
,
­ všechna afinní zobrazení roviny do sebe.
Všechny afinní podobnosti. Lineární zobrazení od-
povídají těm afinním, které zachovávají pevný bod O.
Když pozorovatel tutéž rovinu bude shlížet z jiného
bodu nebo si aspoň vybere jiné body E1, E2 ­ na úrovni
souřadnic to bude změna realizovaná pomocí afinního
zobrazení.
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 45
1.26. Euklidovská rovina. Přidáme schopnost vidět
vzdálenosti.
Okamžitě pojmy úhel a otočení v rovině.
Vzorec pro velikost vektoru v = (a, b)
v = a2 + b2.
Úhel  dvou vektorů v, w ­ využitím tzv. goniometrické
funkce cos .
(viz tabule)
Obecně pro dva vektory v = (x(v), y(v)), w = (x(w), y(w))
je jejich úhel:
cos  =
x(v)  x(w) + y(v)  y(w)
v  w
.
Dobrým příkladem: rotace o předem daný úhel .
Je dáno formulí s maticí R:
v =
x
y
 R  v =
cos  - sin 
sin  cos 

x
y
.
46
Pro jednotkový vektor (1, 0) dostáváme skutečně právě
očekávaný výsledek (cos , sin ).
Rotace kolem jiného bodu P = O + w, snadno na-
píšeme formuli pomocí translací:
x
y
= v  v - w  R  (v - w)  R  (v - w) + w
=
cos (x - x(w)) - sin (y - y(w)) + x(w)
sin (x - x(w)) + cos (y - y(w)) + y(w)
.
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 47
Zrcadlení vzhledem k přímce ­ bude stačit popsat
zrcadlení vzhledem k přímkám procházejícím počátkem
O a ostatní se z nich odvodí pomocí translací.
Hledejme tedy matici Z zrcadlení vzhledem k přímce
s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel 
s vektorem (1, 0). Např.
Z0 =
1 0
0 -1
a obecně můžeme psát (otočíme do ,,nulové polohy,
odzrcadlíme a vrátíme zpět)
Z = R  Z0  R-.
(viz tabule)
48
R =
cos  - sin 
sin  cos 

1 0
0 -1

cos  sin 
- sin  cos 
=
cos  - sin 
sin  cos 

cos  sin 
- sin  cos 
=
cos2
 - sin2
 2 sin  cos 
2 sin  cos  -(cos2
 - sin2
)
=
cos 2 sin 2
sin 2 - cos 2
.
Povšimněme si také, že
ZZ0 =
cos 2 sin 2
sin 2 - cos 2

1 0
0 -1
=
cos 2 - sin 2
sin 2 cos 2
.
To lze sformulovat jako
Tvrzení. Otočení o úhel  obdržíme následným prove-
dením dvou zrcadlení vzhledem ke směrům, které spolu
svírají úhel 1
2 .
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 49
Poznámka ­ pokud umíme odůvodnit předchozí tvr-
zení ryze geometrickou úvahou (zkuste), dokázali jsme
právě standardní formule pro goniometrické funkce dvoj-
násobného úhlu.
Hlubší je následující rekapitulace předchozích úvah:
1.27. Věta. Lineární zobrazení euklidovské roviny je
složeno ze zrcadlení právě, když je dáno maticí R spl-
ňující
R =
a b
c d
, ab + cd = 0, a2
+ c2
= b2
+ d2
= 1.
To nastane právě, když toto zobrazení zachovává veli-
kosti. Otočením je přitom právě tehdy, když je determi-
nant matice R roven jedné, což odpovídá sudému počtu
zrcadlení. Při lichém počtu zdrcadlení je determinant
roven -1.
(viz tabule)
50
1.28. Obsah trojúhelníka a viditelnost. Závěrem
pojem obsah. Trojúhelník je vymezen dvojicí vektorů
v a w, které přiloženy do počátku O zadají zbylé dva
vrcholy.
Chceme formuli (skalární funkci vol), která dvěma
vektorům přiřadí číslo rovné obsahu vol (v, w) takto
definovaného trojúhelníku (v, w).
Ze zadání je vidět, že by mělo platit
vol (v + v , w) = vol (v, w) + vol (v , w)
vol (av, w) = a vol (v, w)
a přidejme požadavek
vol (v, w) = - vol (w, v),
který odpovídá představě, že opatříme plochu znamén-
kem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory.
5. GEOMETRIE V ROVINĚ 51
Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice
A, pak
A = (v, w)  det A
splňuje všechny tři naše požadavky.
Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vek-
tor umíme vyjádřit pomocí dvou souřadných vektorů
v = (1, 0) a w = (0, 1), proto vol  je jednoznačně
určeno už vyčíslením na této jediné dvojici argumentů
(v, w).
Všechny možnosti jsou si rovny až na skalární ná-
sobek. Ten umíme určit požadavkem
vol ((1, 0), (1, 0)) =
1
2
,
tj. volíme orientaci a měřítko.
Determinant zadává plochu rovnoběžnostěnu urče-
ného sloupci matice A (a plocha trojúhelníku je tedy
poloviční).