Příklad 1. Kolika způsoby lze do tří různých obálek rozmístit pět stokorun a
pět tisícikorun tak, aby žádná nezůstala prázdná?
Řešení. Nejdříve zjistíme všechna rozmístění bez podmínky neprázdnosti. Těch
je podle pravidla součinu (rozmísťujeme nezávisle stokoruny a tisícikoruny)
C(3, 5)2
= 7
2
2
, viz odstavec 1.8 textů. Odečteme postupně rozmístění, kdy
je právě jedna obálka prázdná, a poté kdy jsou dvě obálky prázdné. Celkem
C(3, 5)2
- 3(C(2, 5)2
- 2) - 3 = 7
2
2
- 3(62
- 2) - 3 = 336. 2
Příklad 2. Nalezněte explicitní vzorec pro posloupnost vyhovující následující
lineární diferenční rovnici s počátečními podmínkami:
xn+2 = 2xn + n, x1 = 2, x2 = 2.
Řešení. Řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(

2)n
+ b(-

2)n
.
Partikulárním řešením je posloupnost -n - 2.
Dosazením do počátečních podmínek dostaneme pro řešení tvaru a(

2)n
+
b(-

2)n
- n - 2, že a = 6+5

2
4 , b = 6-5

2
4 . Řešením je posloupnost
xn =
6 + 5

2
4
(

2)n
+
6 - 5

2
4
(-

2)n
- n - 2.
2
Příklad 3. Najděte matice A takové, že
A2
=
1
2 -

3
2
3
2
1
2
.
Námět na přemýšlení: jaké geometrické zobrazení v rovině zadává matice A2
?
Řešení. 4. A2
je matice rotace o 60
, takže
A = 

3
2 -1
2
1
2

3
2
,
tedy matice rotace o 30
, resp. 210
. 2
Příklad 5. Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné
z přímek, druhý pak na druhé z nich)
p : [1, 1, 1] + t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + t(1, 1, 1),
takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1, 0, 0].
Řešení. Hledaný bod v q najdeme jako průnik přímky q s rovinou
[1, 1, 1] + t(2, 1, 0) + s(0, 1, 1).
Jde o úsečku s krajními body [5, 5, 3]  q, [7/3, 5/3, 1]  p. 2
Příklad Zodpovězte stručně, výstižně a formálně přesně:
1
1. Co je to permutace a její parita?
2. Zadefinujte lineárně závislou množinu vektorů!
3. Zadefinujte konvexní množiny v afinním prostoru a uveďte příklad kon-
vexní množiny a příklad množiny, která konvexní není!
Řešení.
1. Viz odstavec 2.14 učebních textů.
2. Viz odstavec 2.23 učebních textů.
3. Viz odstavec 4.7 učebních textů.
2
Hodnocení
Za každý příklad je možné získat maximálně tři body, maximální zisk z písemky
je však 14 bodů. Celkové možné zisky bodů ke zkoušce a výsledná hodnocení
jsou:
1. průběžná písemka 3 body
2. průběžná písemka 3 body
závěrečná písemka 14 bodů
Celkem 20 bodů
U jednotlivých příkladů závěrečné písemky se udělují pouze celé body a to takto:
3 body za bezchybný postup i výsledek, 2 body za přesvědčivý a úplný postup a
dokončený výpočet, 1 bod za přesvědčivý a správně popsaný postup včetně pod-
statné části výpočtu, 0 bodů ve zbývajících případech. U teoretického příkladu
je za každou ze tří jeho částí přiznán jeden nebo žádný bod.
Závěrečné hodnocení A B C D E F
Rozsah bodů 15­20 13­14 11­12 9­10 7-8 0-6
2