Příklad 1. Kolika způsoby můžeme do pěti různých důlků vybrat po jedné kouli, vybíráme-li ze čtyř bílých, čtyř modrých a tří
červených koulí?
Řešení. Nejprve řešme úlohu v případě, že bychom měli k dispozici alespoň pět koulí od každé barvy. V tomto případě se jedná
o volný výběr pěti prvků ze tří možností, tedy o variace s opakováním třetí třídy z pěti prvků (viz odstavec 2.4. učebních textů).
Máme
V (3, 5) = 35
.
Nyní odečteme ty výběry, ve kterých se vyskytují buď pouze koule stejné barvy (takové výběry jsou tři), nebo právě čtyři koule
červené (takových výběrů je 10 = 2  5; nejprve vybereme barvu koule, která nebude červená ­ dvě možnosti ­ a poté důlek, ve
kterém bude ­ pět možností). Celkem tedy máme
35
- 3 - 10 = 230
možných výběrů. 2
Příklad 2. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami:
xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2.
Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(-1)n
+ b2n
. Partikulárním řešením je konstanta -1/2. Obecné řešení
dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy
a(-1)n
+ b2n
-
1
2
.
Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = -5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje
posloupnost
-
5
6
(-1)n
+
5
3
2n-1
-
1
2
.
2
Příklad 3. Uvažujme Leslieho model růstu pro populaci krys, které máme rozděleny do tří věkových skupin: do jednoho roku,
od jednoho do dvou let a od dvou let do tří. Předpokládáme, že se žádná krysa nedožívá více než tří let. Průměrná porodnost v
jednotlivých věkových skupinách připadajících na jednu krysu je následující: v 1.skupině je to nula a ve druhé i třetí 2 krysy. Krysy,
které se dožijí jednoho roku umírají až po druhém roce života (úmrtnost ve druhé skupině je nulová). Určete úmrtnost v první
skupině víte-li, že daná populace krys stagnuje (počet jedinců v ní se nemění).
Řešení. Leslieho matice daného modelu je (úmrtnost v první skupině označíme a)


0 2 2
a 0 0
0 1 0

 .
Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, neboli polynom 3
- 2a - 2a má mít kořen 1, t.j
a = 1/4. 2
Příklad 4. Nalezněte osu mimoběžek
p : [1, 1, 1] + t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + t(1, 1, 1).
Řešení. [3, 2, 1][8/3, 8/3, 2/3]. 2
Příklad 5. Zodpovězte stručně, výstižně a formálně přesně:
1. Definujte determinant čtvercové matice.
2. Co je to charakteristický polynom matice a jak souvisí s vlastními vektory?
3. Podejte definici ortogonálních zobrazení a jejich charakterizaci pomocí matic.
Řešení.
1. Viz odstavec 2.14 učebních textů.
2. Viz odstavec 2.38 učebních textů.
3. Viz odstavec 2.47 učebních textů.
2
1
Příklad 1. Určete počet různých vět, které vzniknou přesmyčkami v jednotlivých slovech věty ,,Skokan na koks (vzniklé věty ani
slova nemusejí dávat smysl).
Řešení. Určíme nejprve počty přesmyček jednotlivých slov. Ze slova ,,skokan dostaneme 6!/2 různých přesmyček, ze slova na dvě
a ze slova koks 4!/2. Celkem podle pravidla součinu 6!4!/2. 2
Příklad 2. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje následující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami:
2xn+2 = -xn+1 + xn + 2, x1 = 2, x2 = 3.
Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(-1)n
+ b(1/2)n
. Partikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení
dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy
a(-1)n
+ b
1
2
n
+ 1.
Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = 1, b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje
posloupnost
(-1)n
+ 4
1
2
n
+ 1.
2
Příklad 3. Určete všechny konstanty a  R takové, aby polynomy ax2
+ x + 2, -2x2
+ ax + 3 a x2
+ 2x + a byly lineárně závislé
(ve vektorovém prostoru polynomů jedné proměnné nad reálnými čísly).
Řešení. Polynomy budou závislé, právě když bude mít matice


a 1 2
-2 a 3
1 2 a


nulový determinant, tj. a bude kořenem polynomu a3
- 6a - 5 = (a + 1)(a2
- a - 5), tj. a1 = -1, a2,3 = 1

21
2 . 2
Příklad 4. Určete cos , kde  je odchylka dvou sousedních stěn pravidelného osmistěnu (těleso, jehož stěny tvoří osm rovnostran-
ných trojúhelníků).
Řešení. Odchylky libovolných dvou sousedních stěn jsou ze symetrie osmistěnu shodné. Rovněž tak nezáleží na jeho velikosti.
Uvažujme osmistěn s délkou hrany 1, který je umístěn do standardní kartézské souřadné soustavy v R3
tak, že jeho těžiště je v
bodě [0, 0, 0]. Jeho vrcholy jsou pak v bodech A = [

2
2 , 0, 0], B = [0,

2
2 , 0], C = [-

2
2 , 0, 0], D = [0, -

2
2 , 0], E = [0, 0, -

2
2 ] a
F = [0, 0,

2
2 ].
Určeme odchylku stěn CDF a BCF. Ta je dána odchylkou vektorů kolmých na jejich průnik a ležících v daných stěnách, tedy
vekorů kolmých na CF. Těmi jsou vektory dané výškami z bodů D, resp. F na základnu CF v trojúhelnících CDF, resp. BCF.
Výšky v rovostranném trojúhelníku splývají s těžnicemi, jedná se tedy o úsečky SD a SB, kde S je střed strany CF. Protože známe
souřadnice bodů C a F, má bod S souřadnice [-

2
4 , 0,

2
4 ] a pro vektory máme SD = (

2
4 , -

2
2 , -

2
4 ) a SB = (

2
4 ,

2
2 , -

2
4 ).
Celkem
cos  =
(

2
4 , -

2
2 , -

2
4 )  (

2
4 ,

2
2 , -

2
4 )
(

2
4 , -

2
2 , -

2
4 ) (

2
4 ,

2
2 , -

2
4 )
= -
1
3
.
= 132
.
2
Příklad 5. Zodpovězte stručně, výstižně a formálně přesně:
1. Popište strukturu množiny všech řešení systému lineárních rovnic v terminologii afinních prostorů a podprostorů.
2. Zadefinujte pojem relace ekvivalence.
3. Podejte definici symetrických zobrazení a jejich charakterizaci pomocí matic.
Řešení.
1. Viz odstavec 4.4 učebních textů.
2. Viz odstavec 1.47 učebních textů.
3. Viz odstavec 3.14 učebních textů.
2
2