Příklady na cvičení k přednášce Matematika I
k odevzdání v týdnu 24.-28. října 2005
Příklad 1. Určete, které z následujících relací na množině M jsou ekvivalence
a pokud ano, popište příslušné třídy ekvivalence:
1. M = N, x  y  (NSD(x, y) > 1), kde NSD(x, y) značí největšího
společného dělitele čísel x a y.
2. M = N, x  y  (NSN(x, y) > 1), kde NSN(x, y) značí nejmenší
společný násobek čísel x a y.
3. M = {f : R  R} (tj. M je množina vech funkcí z reálných do reálných
čísel), f  g  (x  R : f(x) = g(x)).
Odpovědi zdůvodněte.
Příklad 2. Najděte nenulový mnohočlen s celými koeficienty, tj. výraz typu
anxn
+    + a1x + a0, ai  Z an = 0, takový, že na množině Z7 nabývá pouze
nulových hodnot (tj. dosadíme-li za x libovolný z prvků Z7 a výraz v Z7 vyčís-
líme, dostaneme vždy nulu).
Příklad 3. Popište nějaké uspořádání přirozených čísel, které není dobré.
Příklad 4. Buď r a n přirozená čísla. Ukažte, že r

n je buď přirozené nebo
iracionální číslo.
Příklad 5. Uvažujme následující relaci na množině přirozených čísel:
a  b  ab
< ba
.
Ukažte, že jde o ostré uspořádání (tranzitivní a asymetrická relace, kde asymet-
rická značí, že pro x, y  N platí nejvýše jeden ze vstahů x  y, y  x) na mno-
žině přirozených čísel, které není úplné. Nalezněte minimální prvek, existuje-li.
1