Příklady na cvičení k přednášce Matematika I
k odevzdání v týdnu 7. ­ 11. listopadu 2005
Příklad 1. Rozhodněte, zda následující množiny jsou vektorové prostory nad
tělesem reálných čísel:
1. Čtvercové matice n × n nad reálnými čísly, operace sčítání vektorů je
sčítáním matic.
2. Invertibilní čtvercové matice n × n nad reálnými čísly.
3. Symetrické čtvercové matice n × n nad reálnými čísly.
4. Antisymetrické čtvercové matice n × n nad reálnými čísly.
Příklad 2. Pro všechny vektorové prostory z příkladu 1 určete jejich dimenze a
zadejte nějaké jejich báze.
Příklad 3. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly,
sčítání vektorů je sčítáním komplexních čísel. Ukažte, že čísla 1 + i a 1 - i tvoří
bázi tohoto vektorového prostoru a napište souřadnice čísla 4 + i v této bázi.
Příklad 4. Napište matici zobrazení zrcadlení podle roviny procházející počát-
kem a kolmé na vektor (1, -1, 1).
Příklad 5. Napište rovnici otáčení kolem osy procházející počátkem a dané
vektorem (1, -1, 1).
1