Příklady na cvičení k přednášce Matematika I
k odevzdání v týdnu 21. ­ 25. listopadu 2005
Příklad 1. Uvažujme reálné polynomiální funkce (tj. funkce tvaru akxk
+    +
a1x + a0, ai  R, i = 1 . . . k) s operací sčítání funkcí. Ukažte, že jde o vektorový
prostor nad reálnými čísly a napište nějakou jeho bazi. Jaká je jeho dimenze?
Příklad 2. Rozhodněte o následujících tvrzeních, jestli jsou pravdivá, či neprav-
divá, své tvrzení zdůvodněte:
1. Každá matice nad R má alespoň jeden vlastní vektor.
2. Každá matice nad C má alespoň jeden vlastní vektor.
3. Každá matice nad R má tolik vlastních vektorů, jaká je její hodnost.
4. Každá matice nad C má tolik vlastních vektorů, jaká je její hodnost.
Příklad 3. Rozhodněte, jestli může být Leslieho matice maticí Markovovou (tj.
pravděpodobnostní). Pokud ano, popište populaci, kterou tato matice popisuje.
Pokud ne, podejte důkaz svého tvrzení.
Příklad 4. Navrhněte lineární filtr, tj. lineární zobrazení z vektorového prostoru
nekonečných posloupností do sebe sama, takový, že utlumí (odfiltruje) posloup-
nosti tvaru xn = sin(n/3). Které posloupnosti tento filtr naopak zesílí?
Příklad 5. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 400 Kč. Vždy vsadí
polovinu toho, co aktuálně má (a to zaokrouhleno na patesátikoruny nahoru;
vsázet se totiž může pouze v násobcích 50 Kč). Sází vždy na černou (v ruletě
je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic
nemá, nebo pokud má více než 1000 Kč. Zformulujte tuto úlohu jako Markovův
proces a napište jeho matici.
Pokud máte přístup k výpočetnímu softwaru, zkuste tento proces modelovat.
Spočtěte vlastní čísla a vlastní hodnoty dané matice. Interpretujte výsledek.
1