Příklad 1. Určete počet přesmyček slova ,,nejneobhospodářovávatelnější takových, že v nich stojí skupina písmen
,,neo takto u sebe. (diakritiku neuvažujeme, tj. ,,á=a )
Řešení. Skupinu ,,neo počítáme jako jedno písmeno. Zbytek standardně jako permutace s opakováním.
26!
(3!)324
.
2
Příklad 2. V rovině R2
je v bodě [0, -5] umístěn jediný světelný zdroj. Určete délku stínu, který vrhá neprůsvitný
čtyřúhelník s vrcholy [1, 5], [4, 8], [5, 11], [2, 12] na přímku x = 20.
Řešení. Stín se táhne od bodu [20, 59], do bodu [20, 195], jeho délka je tedy 136. 2
Příklad 3. Ve standardní bázi v R3
je dáno lineární zobrazení f maticí
A =


1 2 0
0 1 2
-1 -1 1

 .
Spočítejte jeho matici v bázi B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
Řešení. Matice přechodu od báze B ke standardní bázi je


1 1 1
1 1 0
1 0 0

 .
Hledanou matici D spočteme jako
D =


0 0 1
0 1 -1
1 -1 0




1 2 0
0 1 2
-1 -1 1




1 1 1
1 1 0
1 0 0

 =


-1 -2 -1
4 3 1
0 2 1

 .
2
Příklad 4. Určete vzdálenost přímek p a q v afinním prostoru R3
, je-li přímka p dána rovnicemi
x - y + z + 2 = 0
x + 2y + 2z - 3 = 0.
Přímka q potom rovnicemi
2x - 3y = 1
y + z = 2.
Řešení. Směrové vektory přímek p a q jsou (-4, -1, 3) a (3, 2, -2) (jsou to řešení zlinearizovaných rovnic, alternativně
vektorové součiny normál definujících rovin). Vektorovým součinem zjistíme vektor kolmý na obě dvě, tedy vektor
(4, -1, 5). Na přímce p leží např. bod P = [-3, 1, 2] a na q leží např bod Q = [2, 1, 1]. Promítnutím vektoru PQ =
(5, 0, -1) na podprostor generovaný vektorem (4, -1, 5) získáme vektor
1
5
(4, -1, 5) 2
(4, -1, 5),
jehož délka je 5

3
14
. 2
Příklad 5.
1. Definujte pojem relace. Udejte příklad neprázdné relace na množině {1, 2, 3}
2. Definujte matici přechodu.
3. Formulujte větu o Jordanově rozkladu
Řešení.
1. Viz kapitola 1, bod 6.1.
2. Viz kapitola 2, bod 3.10.
3. Viz kapitola 2, Věta 4.7.
2