Příklad 1. Alešovi zbylo 2500 Kč z pořádání tábora. Aleš není žádný ňouma: 60 Kč přidal z kasičky a rozhodl se jít
hrát ruletu na automaty. Aleš sází pouze na barvu. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu je 18/37. Začíná sázet
na 10 Kč a pokud prohraje, v další sázce vsadí dvojnásobek toho, co v předchozí (pokud na to ještě má, pokud ne, tak
končí). Pokud nějakou sázku vyhraje, v následující sázce hraje opět o 10 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při tomto
postupu vyhraje dalších 2500 Kč? (jakmile bude 2500 Kč v plusu, tak končí)
Řešení.
1 -
19
37
9 250
.
= 0, 53.
2
Příklad 2. V afinní rovině R2
je ve standardní bázi dáno afinní zobrazení
f(x, y) =
1 2
0 1
x
y
+
1
0
.
Vyjádředte toto zobrazení v bázi dané počátkem [2, 0] a bázovými vektory (1, 2) a (1, 0).
Řešení. V dané bázi máme vyjádření
f(u, v) =
1 1
2 0
-1
1 2
0 1
1 1
2 0
u
v
+
2
0
+
1
0
-
1 1
2 0
-1
2
0
=
1 0
4 1
u
v
+
0
1
.
2
Příklad 3. Spočítejte následující determinant čtvercové matice n × n:









1 0 0 . . . 0 1
1 1 0 . . . 0 1
1 0 1 . . . 0 1
...
...
...
1 0 0 . . . 1 1
1 0 0 . . . 0 1









.
(Matice se skládá z téměř samých nul, jedinými nenulovými prvky jsou jedničky, které tvoří velké písmeno N).
Řešení. První a poslední sloupec matice jsou lineárně závislé, determinant je tedy 0. 2
Příklad 4. V afinním prostoru R3
určete nějakou rovninu, která má odchylku 45
od roviny dané rovnicí
x - y + z - 1 = 0.
Řešení. Nalezneme dva kolmé směry v dané rovině: jeden směr (vektor) zvolíme libovolně (rozdíl dvou různých bodů v
rovině, nebo řešení zhomogenizované rce), např. (0, 1, 1). K němu kolmý směr nalezneme např. vektorovým součinem s
normálou k dané rovině: (0, 1, 1)×(1, -1, 1) = (2, 1, -1). Volíme-li jeden ze směrových vektorů dané roviny (0, 1, 1), tak
druhý můžeme volit na ose úhlu daného vektory (1, -1, 1)a(2, 1, -1). Tam leží např. vektor daný počátkem a středem
úsečky dané koncovými body vektorů stejné délky v daných směrech, tedy vektorů (

2, -

2,

2) a (2, 1, -1), tedy
vektor (2-

2
2 , 1+

2
2 , -1-

2
2 ). Jedna z možných rovin je tedy rovina
 : [0, 0, 0] + t(0, 1, 1) + s((
2 -

2
2
,
1 +

2
2
,
-1 -

2
2
).
Alternativně můžeme hledat normálu roviny, tedy vektor svírající s normálou dané roviny úhel 45
.
2
Příklad
1. Definujte pojem skalárního součinu vektorů.
2. Definujte pojem vnějšího součinu vektorů.
3. Zformulujte Cauchyovu nerovnost.
Řešení.
1. Viz kapitola 2, bod 3.14 učebních textů.
2. Viz kapitola 4, bod 2.15 učebních textů.
3. Viz kapitola 4, věta 2.2 učebních textů.
2