Příklad 1. Ze sáčku s pěti bílými a pěti červenými koulemi náhodně vytáhneme tři (koule do sáčku nevracíme). Jaká
je pravděpodobnost, že dvě budou bílé a jedna červená?
Řešení. Například rozdělíme uvažovaný jev na sjednocení tří disjunktních jevů: podle toho, kolikátou vytáhneme
červenou kouli. Pravděpodobnosti, že vytáhneme koule přesně ve zvoleném pořadí jsou:
1
2
4
9
5
8
,
1
2
5
9
1
2
,
1
2
5
9
1
2
.
Celkem 5
12 . 2
Příklad 2. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice


9
4 -3
4 -1
4
-1
4
11
4
1
4
0 0 2

 .
Řešení. Vlastní hodnota 3 jednonásobná, příslušný vlastní vektor (-1, 1, 0), vlastní hodnota 2 dvojnásobná, příslušné
vlastní vektory generují podprostor (1, 0, 1), (3, 1, 0) . 2
Příklad 3. Uvažujme rovinu R2
se standardní soustavou souřadnic. Z počátku [0, 0] je vyslán laserový paprsek ve
směru (3, 1). Dopadne na zrcadlovou přímku p danou parametricky jako
p : [4, 3] + t(-2, 1),
a poté se odrazí (úhel dopadu je shodný s úhlem odrazu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q,
danou parametricky jako
q : [7, -10] + t(-1, 6)?
Řešení. Směr paprsku svírá s přímkou p úhel 45
, odražený paprsek tedy bude kolmý na dopadající, jeho směrový
vektor bude (1, -3) (pozor na orientaci!; daný směrový vektor můžeme též získat například zrcadlením podle kolmého
vektoru k přímce p). Paprsek dopadne v bodě [6, 2], odražený paprsek tedy bude mít rovnici
[6, 2] + t(1, -3), t  0.
Průnik přímky dané odraženým paprskem s přímkou q je bod [4, 8], což je mimo polopřímky dané odraženým paprskem
(t = -2). Odražený paprsek tedy přímku q neprotne. 2
Příklad 4. Nalezněte nějakou ortonormální bázi vektorového podprostoru v R3
daného rovnicí
2x - 3y + z = 0.
Příklad 5. Zodpovězte stručně, výstižně a formálně přesně:
1. Definujte co rozumíme pod pojmem pravděpodobnostní prostor (, A, P).
2. Bez použití pojmu matice definujte pojem lineárního zobrazení vektorového prostoru.
3. Definujte (standardní) afinní prostor.
Řešení.
1. Viz učební texty, kapitola 1, bod 4.3.
2. Viz učební texty, kapitola 2, bod 3.8.
3. Viz učební texty, kapitola 4, bod 1.1.
2