STATISTIKA II.
Lenka Přibylová, KAM PřF MU Brno
Způsob bodování: Odpovíte-li správně, přičte se vám bodová
hodnota otázky k celkovému bodovému zisku. Odpovíte-li špatně,
bodová hodnota se odečte!
Instrukce: Odpovídejte na otázky v libovolném pořadí.
Upozornění: Použijte Acrobat Reader 4.0 nebo vyšší.
Začátek: Přejděte na následující stranu.
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti
rozložení
Číselné
charakteristiky
Bodové odhady
Intervalové
odhady
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti rozložení
Otázka za 100 bodů: Distribuční funkce je vždy
(a) spojitá
(b) nespojitá
(c) zprava spojitá
(d) zleva spojitá
(e) diferencovatelná
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti rozložení
Otázka za 200 bodů: Hustota rovnoměrného spojitého rozložení není
(a) spojitá na svém nosiči
(b) konstantní
(c) konstantní na svém nosiči
(d) integrovatelná
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti rozložení
Otázka za 300 bodů: Funkce y = ax2
může být hustotou na nosiči
(0, 1) pro parametr
(a) a = 3
(b) a =
1
3
(c) a = 2
(d) a =
1
2
(e) nemůže být hustotou pro žádný parametr
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti rozložení
Otázka za 400 bodů: Vyberte z následujících rozložení to, které není
exponenciální třídy:
(a) exponenciální rozložení
(b) Gaussovo normální rozložení
(c) geometrické rozložení
(d) rovnoměrně spojité rozložení
(e) všechna uvedená jsou exponenciální třídy
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vlastnosti rozložení
Otázka za 500 bodů: Funkce
2 arctg x + 
2
nemůže
(a) být distribuční funkcí se symetrickou hustotou
(b) být distribuční funkcí rozložení exponenciální třídy
(c) být distribuční funkcí s hustotou
1
(x2 + 1)
(d) být distribuční funkcí
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Číselné charakteristiky
Otázka za 100 bodů: Střední hodnota diskrétního jednorozměrného
rozložení s pravděpodobnostní funkcí p(x) na nosiči M se definuje jako
(a)
M
p(x) dx
(b)
M
p(x)
(c)
M
xp(x) dx
(d)
M
xp(x)
(e)
x
-
p(t) dt dx
(f)
x
-
p(t)
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Číselné charakteristiky
Otázka za 200 bodů: Vyberte pravdivé tvrzení:
(a) Střední hodnota a medián mají vždy stejnou hodnotu.
(b) Střední hodnota a medián nemohou být stejné.
(c) Střední hodnota a medián nabývají stejné hodnoty např. pro X 
Rs(a, b) (rovnoměrně spojité rozložení).
(d) Střední hodnotu a medián nelze porovnávat.
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Číselné charakteristiky
Otázka za 300 bodů: Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny,
E(X) = 1 a E(Y ) = 2 jejich střední hodnoty. Pak pro střední
hodnotu součinu X  Y :
(a) E(X  Y ) = 12
(b) E(X  Y ) =
1 + 2
2
(c) E(X  Y ) =
12
2
(d) neplatí žádné z předchozího, E(X  Y ) závisí na typu rozložení X
a Y
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Číselné charakteristiky
Otázka za 400 bodů: Buď náhodný výběr X1, X2, . . . Xn  Alt(p).
Pak pro rozptyl výběrového průměru platí:
(a) D(X) = p(1 - p)
(b) D(X) = np(1 - p)
(c) D(X) =
p(1 - p)
n
(d) D(X) = p
(e) D(X) = np
(f) D(X) =
p
n
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Číselné charakteristiky
Otázka za 500 bodů: Rozptyl Cauchyho rozložení s hustotou
f(x) =
1
(x2 + 1)
(a) je roven 1
(b) je roven 
(c) je roven
1

(d) neexistuje
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Bodové odhady
Otázka za 100 bodů: Bodový odhad parametru definujeme jako
(a) statistiku, která je funkcí náhodného výběru a která každé realizaci
tohoto výběru přiřadí určitou hodnotu
(b) statistiku, která je funkcí náhodného výběru a která každé realizaci
tohoto výběru přiřadí hodnotu tohoto parametru
(c) náhodný výběr, jehož každá realizace má průměr roven tomuto
parametru
(d) bod, který odhaduje tento parametr
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Bodové odhady
Otázka za 200 bodů: Odhad parametru  je nestranný, pokud
(a) jeho střední hodnota konverguje k 
(b) jeho střední hodnota nezávisí na 
(c) je jeho střední hodnota rovna parametru 
(d) je jeho rozptyl minimální
(e) nelze najít jiný odhad parametru 
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Bodové odhady
Otázka za 300 bodů: Buď X1, X2, . . . , Xn náhodný výběr z
rozložení, které má hustotu
f(x) =



33 1
x4
pro x > 
0 jinak,
kde parametr  > 0. Pak posloupnost odhadů Tn =
2
3
1
n
n
i=1
Xi je
(a) asymptoticky nestranný, ale ne konzistentní odhad parametru 
(b) odhady nejsou nestranné, ale posloupnost je asymptoticky nestran-
ným odhadem parametru 
(c) každý z posloupnosti odhadů je nestranný, ale posloupnost není
asymptoticky nestranným odhadem parametru 
(d) každý z posloupnosti odhadů je nestranný a posloupnost je konzis-
tentním odhadem parametru 
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Bodové odhady
Otázka za 400 bodů: Buď X1, X2, . . . , Xn náhodný výběr z
geometrického rozložení Geom(p). Bodovým odhadem parametru p
metodou maximální věrohodnosti je statistika
(a)
1
Xi + 1
(b)
1
X + 1
(c)
Xi
Xi + 1
(d)
X
X + 1
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Bodové odhady
Otázka za 500 bodů: Buď X1, X2, . . . , X2n-1 náhodný výběr z
normálního rozložení N(, 2
). Uvažujme dva nestranné odhady:
X =
1
2n - 1
2n-1
i=1
Xi a T =
1
2
1
n
n
i=1
Xi +
1
n
2n-1
i=n
Xi . Které z
následujících tvrzení platí?
(a) Statistika T je lepším odhadem, protože její rozptyl je roven
1
2n
,
což je menší než rozptyl D(X) =
1
2n - 1
.
(b) Oba odhady jsou stejně dobré.
(c) Odhad X je lepší, protože statistika T má díky korelaci větší rozptyl.
(d) Statistika T není nestranným odhadem .
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Intervalové odhady
Otázka za 100 bodů: Vyberte pravdivé tvrzení:
(a) Intervalový odhad parametru nezávisí na volbě parametru.
(b) Intervalový odhad parametru nezávisí na volbě spolehlivosti.
(c) Intervalový odhad parametru nezávisí na dané realizaci náhodného
výběru.
(d) Intervalový odhad nezávisí na bodovém odhadu.
(e) Všechna tvrzení a)-d) jsou nepravdivá.
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Intervalové odhady
Otázka za 200 bodů: Buď X1, X2, . . . , Xn náhodný výběr z
Gaussova normálního rozložení N(, 2
) se známým rozptylem. Pak
pro intervalový odhad parametru  používáme statistiku
(a) X
(b)
X - 

(c)
X - 
/

n
(d)
X - 
S
(e)
X - 
S/

n
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Intervalové odhady
Otázka za 300 bodů: Buď X1, X2, . . . , Xn náhodný výběr z
nějakého rozložení. Pak pro intervalový odhad střední hodnoty 
statistiku
X - 
S/

n
(a) můžeme použít, protože má normální rozložení
(b) můžeme použít, protože má studentovo rozložení
(c) můžeme použít jako aproximaci pro velká n díky centrální limitní
větě
(d) nemůžeme použít
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Intervalové odhady
Otázka za 400 bodů: U třiceti náhodně vybraných výrobků činila
průměrná hmotnost netto 102 g a výběrový rozptyl byl 7. Jaký je 95%
interval spolehlivosti netto hmotnosti tohoto výrobku v gramech (s
přesností na 3 des. místa)? Předpokládáme normální rozložení
hmotnosti.
(a) (99.390,104.610)
(b) (99.828,104.171)
(c) (99.386,104.614)
(d) (99.495,104.505)
c Lenka Přibylová, 2006 ×
Intervalové odhady
Otázka za 500 bodů: Při předvolebním průzkumu se pro stranu
Fialových z 2000 dotazovaných vyslovilo 110 dotázaných. Pro vstup
do sněmovny je nutné, aby strana dosáhla ve volbách 5%. Spočtěte
80% interval spolehlivosti pro procent. výsledek voleb. Dostane se
strana Fialových do sněmovny (s tímto 20% rizikem)?
(a) ano, protože 5% hranice je menší než dolní hranice intervalu spo-
lehlivosti
(b) ano, protože 5% hranice je větší než dolní hranice intervalu spoleh-
livosti
(c) ne, protože 5% hranice je větší než dolní hranice intervalu spoleh-
livosti
(d) ne, protože 5% hranice je menší než dolní hranice intervalu spoleh-
livosti
(e) ano, protože 5% hranice leží v intervalu spolehlivosti
(f) ne, protože 5% hranice leží v intervalu spolehlivosti
c Lenka Přibylová, 2006 ×