Základy matematiky -- podzim 2006 -- 1. termín -- 5.1.2007
1. (7krát  1 bod (správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0 -- při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A --ˇ B, g : B --ˇ C platí:
pokud g o f je injektivní, pak / nebo g je injektivní.
(b) ano -- ne Pro libovolné n E N existuje uspořádání R množiny N takové, že n je největší
prvek uspořádané množiny (N,R).
(c) ano -- ne Má-li podmnožina uspořádané množiny infimum, pak má i supremum.
(d) ano -- ne Pro libovolné prvočíslo n je (Zra, ˇ) grupa.
(e) ano -- ne Pokud binární relace R na množině A je reflexivní, pak R~l
je také reflexivní.
(f) ano -- ne Existuje jediný izomorfismus uspořádané množiny (Z, <) na sebe.
(g) ano -- ne Množina všech bijekcí množiny N do sebe je spočetná.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Definujte všechny užité pojmy. Definujte
pojmy maximálního a největšího prvku. Jaký vztah je mezi těmito prvky. Definujte pojem infima
podmnožiny uspořádané množiny.
3. (3krát 2 body) Házíme zároveň bílou, zelenou a černou hrací kostkou. Každá má 6 stěn očíslovaných
čísly 1,2,3,4,5 a 6. Kolik
(a) různých výsledků můžeme dostat;
(b) různých výsledků, kde na bílé kostce je větší číslo než na černé, můžeme dostat;
(c) je těch výsledků, při nichž je součet čísel roven 16.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) nekonečné, nespočetné uspořádané množiny;
(b) konečného tělesa;
(c) izotonního zobrazení z (Z, <) do (N, <);
(d) relací p ^ c r n a množině M = {a, b} takových, že p o a = a o p.
(e) uspořádání pětiprvkové množiny, kde 2 prvky jsou maximální, 3 prvky jsou minimální a každý
maximální prvek je větší než libovolný minimální.
5. (10 bodů) Buď n přirozené číslo a dále I = {1,2,..., n}. Na množině M = I x I U {0} definujeme
binární operaci o vztahy
x o 0 = 0 o i = 0 pro libovolné x E M;
(i, j) o (k, I) = I ^' ^ J
- k pro libovolné i, j , k, l e I.
Dokažte, že operace o je vždy asociativní.
Určete, pro která n E N existuje pro operaci o neutrální prvek.
Určete, pro která n E N je operace o komutativní.
Určete, pro která n E N je (M, o) grupa.
Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina, kde n G N, n > 2 . Určete počet všech dvojic
množin (A, B), takových, že A C M, B C M a A fl B má nejvýše dva prvky.
Kolik z nich je takových, že A U B = Ml
Výpočty komentujte.
7. (10 bodů) Na množině V (N) je definována binární relace p takto: XpY -<=>(yxeX)(3yeY)(x<y)
A (Vy G Y)(3x G X)(y < x).
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině V (N).
Popište rozklad V(N)\p.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
(Pozn: < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
8. (10 bodů) Na množině N definujeme binární relaci ^ takto:
k <m -<=>- (A; | m A (3a G N)(m \ ka
)), pro k, m G N.
Dokažte, že ^ je uspořádání.
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (N, ^ ) .
Je (N, :<) úplný svaz?
Je (N, X) svaz?
Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Buď n G N a položme A = {1,2,... ,n}. Na množině V (A) definujeme relaci ^ takto:
pro X,Y G "P(A) je X -< Y právě tehdy, když
existuje injektivní zobrazení / : X --ˇ y splňující (Vx G X)(x < f(x)).
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (V(A), :<).
Rozhodněte, zda id-p^A) je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (V(A), :<) do uspořádané mno-
žmy(V(A),C).
Rozhodněte, zda id-p^A) je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (V(A), C) do uspořádané mno-
žiny(7>(A),X).
Je ('P(Ä), :<) úplný svaz?
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: C značí inkluzi.)