Základy matematiky — podzim 2006 — 1. termín — 5.1.2007
1. (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení f : A → B, g : B → C platí:
pokud g ◦ f je injektivní, pak f nebo g je injektivní.
(b) ano — ne Pro libovolné n ∈ N existuje uspořádání R množiny N takové, že n je největší
prvek uspořádané množiny (N, R).
(c) ano — ne Má-li podmnožina uspořádané množiny infimum, pak má i supremum.
(d) ano — ne Pro libovolné prvočíslo n je (Zn, ·) grupa.
(e) ano — ne Pokud binární relace R na množině A je reflexivní, pak R−1
je také reflexivní.
(f) ano — ne Existuje jediný izomorfismus uspořádané množiny (Z, ≤) na sebe.
(g) ano — ne Množina všech bijekcí množiny N do sebe je spočetná.
2. (7 bodů) Definujte pojem uspořádání na množině A. Definujte všechny užité pojmy. Definujte
pojmy maximálního a největšího prvku. Jaký vztah je mezi těmito prvky. Definujte pojem infima
podmnožiny uspořádané množiny.
3. (3krát 2 body) Házíme zároveň bílou, zelenou a černou hrací kostkou. Každá má 6 stěn očíslovaných
čísly 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Kolik
(a) různých výsledků můžeme dostat;
(b) různých výsledků, kde na bílé kostce je větší číslo než na černé, můžeme dostat;
(c) je těch výsledků, při nichž je součet čísel roven 16.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) nekonečné, nespočetné uspořádané množiny;
(b) konečného tělesa;
(c) izotonního zobrazení z (Z, ≤) do (N, ≤);
(d) relací ρ = σ na množině M = {a, b} takových, že ρ ◦ σ = σ ◦ ρ.
(e) uspořádání pětiprvkové množiny, kde 2 prvky jsou maximální, 3 prvky jsou minimální a každý
maximální prvek je větší než libovolný minimální.
5. (10 bodů) Buď n přirozené číslo a dále I = {1, 2, . . ., n}. Na množině M = I × I ∪ {0} definujeme
binární operaci ◦ vztahy
x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0 pro libovolné x ∈ M;
(i, j) ◦ (k, l) =
(i, l), j ≤ k
0, j > k
pro libovolné i, j, k, l ∈ I.
Dokažte, že operace ◦ je vždy asociativní.
Určete, pro která n ∈ N existuje pro operaci ◦ neutrální prvek.
Určete, pro která n ∈ N je operace ◦ komutativní.
Určete, pro která n ∈ N je (M, ◦) grupa.
Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť M je konečná n-prvková množina, kde n ∈ N, n ≥ 2 . Určete počet všech dvojic
množin (A, B), takových, že A ⊆ M, B ⊆ M a A ∩ B má nejvýše dva prvky.
Kolik z nich je takových, že A ∪ B = M?
Výpočty komentujte.
7. (10 bodů) Na množině P(N) je definována binární relace ρ takto: XρY ⇐⇒
(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )(x ≤ y) ∧ (∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)(y ≤ x).
Dokažte, že ρ je relace ekvivalence na množině P(N).
Popište rozklad P(N)\ρ.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
(Pozn: ≤ je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.)
8. (10 bodů) Na množině N definujeme binární relaci takto:
k m ⇐⇒ (k | m ∧ (∃a ∈ N)(m | ka
)), pro k, m ∈ N.
Dokažte, že je uspořádání.
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (N, ).
Je (N, ) úplný svaz?
Je (N, ) svaz?
Odpovědi zdůvodněte.
9. (10 bodů) Buď n ∈ N a položme A = {1, 2, . . ., n}. Na množině P(A) definujeme relaci takto:
pro X, Y ∈ P(A) je X Y právě tehdy, když
existuje injektivní zobrazení f : X → Y splňující (∀x ∈ X)(x ≤ f(x)).
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (P(A), ).
Rozhodněte, zda idP(A) je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (P(A), ) do uspořádané množiny
(P(A), ⊆).
Rozhodněte, zda idP(A) je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (P(A), ⊆) do uspořádané množiny
(P(A), ).
Je (P(A), ) úplný svaz?
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: ⊆ značí inkluzi.)