Základy matematiky — podzim 2006 — 1. opravný termín — 19.1.2007
1.   (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Existuje množina A taková, že existuje bijekce z množiny A do množiny V (A).
(b)   ano — ne     Pro libovolnou bijekci / : A —► B existuje zobrazení g : B —► A takové, že go f = idA.
(c)   ano — ne    Každá uspořádaná množina obsahuje pouze konečně mnoho maximálních prvků.
(d)   ano — ne    Je-li / : A —► B izomorfismus uspořádaných množin (A, <) a (B, <), pak platí: pokud (A,<) je úplný svaz, pak (B,<) je úplný svaz.
(e)   ano — ne    Množina E je podgrupa grupy (C, +).
(f)   ano — ne    Prázdná relace, tj. 0, je symetrická relace na libovolné množině.
(g)   ano — ne     Množina všech relací na množině N, která jsou zobrazení, uspořádaná inkluzí tvoří úplný svaz.
2.   (7 bodů) Definujte pojmy grupa, komutativní grupa a izomorfismus grup. Definujte všechny užité pojmy.
3.   (3krát 2 body) Ve skladě je 20 výrobků, z toho je 5 zmetků. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat 7 předmětů tak, aby
(a)   byly všechny dobré;
(b)   byl mezi nimi nejvýše jeden zmetek;
(c)   mezi nimi bylo všech 5 zmetků.
4.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   svazu, který nemá nejmenší prvek;
(b)   nekonečného, nespočetného úplného svazu;
(c)   4-prvkové grupy;
(d)   relace na množině N, která je relace ekvivalence a přitom není relace ekvivalence na množině
Z;
(e)   uspořádání na množině Z, kde je nekonečně mnoho maximálních prvků a nekonečně mnoho minimálních prvků a kde každý maximální prvek je větší než libovolný minimální.
5.   (10 bodů) Na množině M = Z x Z2 definujeme binární operaci o vztahem
(a, [b]2) o (c, [d\2) = (a + (-l)6c, [b + d]2), pro a, b,c,d E Z.
Dokažte, že předpis korektně definuje operaci. Rozhodněte, zda je operace o asociativní. Rozhodněte, zda v (M, o) existuje neutrální prvek. Je (M, o) grupa? Odpovědi zdůvodněte.
6.   (10 bodů) Nechť n E N, A = {1, 2, 3}, B = {1, 2,..., n} a < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti. Určete počet všech izotonních zobrazení z (A, <) do (B, <).
Určete počet všech izotonních zobrazení z (B, <) do (A, <).
Výpočty komentujte.
7.   (10 bodů) Na množině N je definována binární relace p vztahem
xpy -<=>-   (3m, n E N)(x \ ym A y \ xn).
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině N.
Popište rozklad N\p.
Určete, kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8.   (10 bodů) Na množině N definujeme binární relaci -< takto:
k -<m -<=>-  ( k \ m A k + l\m+l),      pro k, m E N.
Dokažte, že ^ je uspořádání.
Je 7 minimální prvek? Existuje nějaký minimální prvek?
Je 7 maximální prvek? Existuje nějaký maximální prvek?
Je (N, X) svaz?
Odpovědi zdůvodněte.
9.   (10 bodů) Na množině M = {(X,Y) E V(N) x V(N)    inľ^U} definujeme binární relaci X takto:
(X,Y) X (X',Yr)  ^^   (X CX'  A ľCľ').
Je (M, ^) úplný svaz?
Dejte příklad injektivního zobrazení <p : (M, ^) —► (V(N), C), které je izotonní. Dejte příklad injektivního zobrazení <p : (V(N), C) —► (M, :<), které je izotonní. Odpovědi zdůvodněte.