Základy matematiky — podzim 2006 — 2. opravný termín — 26.1.2007
1.   (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)   ano — ne    Existuje bijekce z množiny Q do množiny N.
(b)   ano — ne    Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení / : A —► B, g : B —► C platí: pokud g o f je surjektivní, pak / nebo g je surjektivní.
(c)   ano — ne    Uspořádané množiny (Q, <) a (IR, <) jsou izomorfní.
(d)   ano — ne    Každý svaz má nejmenší prvek.
(e)   ano — ne    Číslo 0 je neutrální prvek v grupoidu (Z, —).
(f)   ano — ne    Pokud je binární relace R na množině A tranzitivní, pak R~l je také tranzitivní.
(g)   ano — ne    Existuje jediný izomorfismus uspořádané množiny (N, <) do sebe.
2.   (7 bodů) Definujte pojem rozkladu množiny A. Definujte pojmy relace ekvivalence na množině A a rozkladu příslušného této relaci (tzv. faktorová množina). Definujte pojem projekce na faktorovou množinu příslušnou dané relaci ekvivalence.
3.   (3krát 2 body) Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den (6 různých vyučovacích hodin),
(a)   má-li být tělesná výchova až poslední;
(b)   má-li být tělesná výchova po matematice;
(c)   má-li být tělesná výchova bezprostředně po matematice.
4.   (5krát 2 body) Udejte příklad
(a)   izotonního zobrazení z (IR, <) do (Q, <);
(b)   nespočetné množiny a její spočetné podmnožiny;
(c)   nekonečného tělesa;
(d)   relací p a a na množině N takových, žepo(j = MxN^(jop;
(e)   uspořádání pětiprvkové množiny, kde 2 prvky jsou maximální, 2 prvky jsou minimální a existuje prvek srovnatelný se všemi ostatními.
5.   (10 bodů) Označme Mx = Q x Q, M2 = Q+ x Q, M3 = Q x Q+ a M4 = Q+ x Q+. Uvažme předpis (a, b) o (c, ď) = (a + bc, bď).
Pro které z množin Mi, M2, Ms, M4 daný předpis korektně definuje operaci na dané množině?
Pro které z nich je tato operace asociativní? Pro které z nich existuje neutrální prvek? Pro které se jedná o grupu? Odpovědi zdůvodněte.
6.   (10 bodů) Nechť n, k G N, A = {1, 2,..., n} a B = {1, 2,..., n + k}. Určete počet všech injektivních zobrazení z množiny A do množiny B.
Kolik z nich je navíc izotonními zobrazeními z (A, <) do (B, <), kde < je uspořádání přirozených čísel podle velikosti.
Určete počet všech izotonních zobrazení z (A,<) do (B,<).
Výpočty komentujte.
7.   (10 bodů) Na množině E je definována binární relace p vztahem
xpy ^=^ (3k G N)(xk = yk).
Dokažte, že p je relace ekvivalence na množině E.
Popište rozklad E\p.
Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8.   (10 bodů) Na množině E definujeme binární relaci -< takto:
P ^ Q -<=>-  (p < Q A |j93J = [q3\)     pro p, q G E.
Dokažte, že ^ je uspořádání.
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (E, :<).
Je (E, X) svaz?
Rozhodněte, zda z<Ír je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (E, ^) do uspořádané množiny
(E,<).
Rozhodněte, zda id-R je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (E, <) do uspořádané množiny (R,X).
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: < je uspořádání reálných čísel podle velikosti, |_pj značí celou část čísla p.)
9.   (10 bodů) Buď A libovolná neprázdná množina. Na množině M = {(X, Y) G V(A)xV(A) | X C Y} definujeme binární relaci ^ takto:
(X,Y) X (x',y') ^^ (X CX' A ľCľ').
Dále je dáno zobrazení ip : M —► M předpisem <*p((X, Y)) = (Y — X, Y). Je zobrazení <p : (M, ^) —► (M, ^) izotonní?
Je zobrazení <p : M —► M injektivní?
Je zobrazení <p : M —► M surjektivní?
Odpovědi zdůvodněte.