Základy matematiky — podzim 2006 — 2. opravný termín — 26.1.2007
1. (7krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0 — při záporném součtu se do celkového hodnocení
započítá 0))
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Existuje bijekce z množiny Q do množiny N.
(b) ano — ne Pro libovolné množiny A, B, C a zobrazení f : A → B, g : B → C platí:
pokud g ◦ f je surjektivní, pak f nebo g je surjektivní.
(c) ano — ne Uspořádané množiny (Q, ≤) a (R, ≤) jsou izomorfní.
(d) ano — ne Každý svaz má nejmenší prvek.
(e) ano — ne Číslo 0 je neutrální prvek v grupoidu (Z, −).
(f) ano — ne Pokud je binární relace R na množině A tranzitivní, pak R−1
je také tranzitivní.
(g) ano — ne Existuje jediný izomorfismus uspořádané množiny (N, ≤) do sebe.
2. (7 bodů) Definujte pojem rozkladu množiny A. Definujte pojmy relace ekvivalence na množině A a
rozkladu příslušného této relaci (tzv. faktorová množina). Definujte pojem projekce na faktorovou
množinu příslušnou dané relaci ekvivalence.
3. (3krát 2 body) Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den (6 různých vyučovacích hodin),
(a) má-li být tělesná výchova až poslední;
(b) má-li být tělesná výchova po matematice;
(c) má-li být tělesná výchova bezprostředně po matematice.
4. (5krát 2 body) Udejte příklad
(a) izotonního zobrazení z (R, ≤) do (Q, ≤);
(b) nespočetné množiny a její spočetné podmnožiny;
(c) nekonečného tělesa;
(d) relací ρ a σ na množině N takových, že ρ ◦ σ = N × N = σ ◦ ρ;
(e) uspořádání pětiprvkové množiny, kde 2 prvky jsou maximální, 2 prvky jsou minimální a existuje
prvek srovnatelný se všemi ostatními.
5. (10 bodů) Označme M1 = Q × Q, M2 = Q+
× Q, M3 = Q × Q+
a M4 = Q+
× Q+
. Uvažme předpis
(a, b) ◦ (c, d) = (a + bc, bd).
Pro které z množin M1, M2, M3, M4 daný předpis korektně definuje operaci na dané množině?
Pro které z nich je tato operace asociativní?
Pro které z nich existuje neutrální prvek?
Pro které se jedná o grupu?
Odpovědi zdůvodněte.
6. (10 bodů) Nechť n, k ∈ N, A = {1, 2, . . ., n} a B = {1, 2, . . ., n+k}. Určete počet všech injektivních
zobrazení z množiny A do množiny B.
Kolik z nich je navíc izotonními zobrazeními z (A, ≤) do (B, ≤), kde ≤ je uspořádání přirozených
čísel podle velikosti.
Určete počet všech izotonních zobrazení z (A, ≤) do (B, ≤).
Výpočty komentujte.
7. (10 bodů) Na množině R je definována binární relace ρ vztahem
xρy ⇐⇒ (∃k ∈ N)(xk
= yk
).
Dokažte, že ρ je relace ekvivalence na množině R.
Popište rozklad R\ρ.
Určete kolik má tento rozklad tříd a kolik prvků mají jednotlivé třídy.
8. (10 bodů) Na množině R definujeme binární relaci takto:
p q ⇐⇒ (p ≤ q ∧ ⌊p3
⌋ = ⌊q3
⌋) pro p, q ∈ R.
Dokažte, že je uspořádání.
Nalezněte všechny minimální a maximální prvky uspořádané množiny (R, ).
Je (R, ) svaz?
Rozhodněte, zda idR je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (R, ) do uspořádané množiny
(R, ≤).
Rozhodněte, zda idR je izotonní zobrazení z uspořádané množiny (R, ≤) do uspořádané množiny
(R, ).
Odpovědi zdůvodněte. (Pozn: ≤ je uspořádání reálných čísel podle velikosti, ⌊p⌋ značí celou část
čísla p.)
9. (10 bodů) Buď A libovolná neprázdná množina. Na množině M = {(X, Y ) ∈ P(A)×P(A) | X ⊆ Y }
definujeme binární relaci takto:
(X, Y ) (X′
, Y ′
) ⇐⇒ ( X ⊆ X′
∧ Y ⊆ Y ′
).
Dále je dáno zobrazení ϕ : M → M předpisem ϕ((X, Y )) = (Y − X, Y ).
Je zobrazení ϕ : (M, ) → (M, ) izotonní?
Je zobrazení ϕ : M → M injektivní?
Je zobrazení ϕ : M → M surjektivní?
Odpovědi zdůvodněte.