Písemka ze Cvičení z Algebry I, 15.12.2006
1. Polynom / = a;8 + a;6 + x4 + a;3 + x2 + x E ^[x] rozložte na součin ireducibilních polynomů ze 1i2[x\. [10]
2. Nalezněte nejprve racionální [2] a poté násobné [2] kořeny polynomu g = 4x7 + 17x6 + 32x5 + 39x4 + 28x3 + 13x2 + 2x e Z[x}. Rozložte jej na součin ireducibilních polynomů s koeficienty postupně z těles Q [2], R [2], C [2].
3. Mějme M = j ^ °   J ^ ; a e R+, b e K j.
a) Rozhodněte, zda tato množina s operací klasického součinu matic tvoří grupu. [2]
b) Určete, zda zobrazení a : (M, ■) -> (M, +) [2] a (3 : (M, ■) -> (M, ■) [2] daná předpisy
«((ô ;))-hw * K(ô ;)h
jsou homomorfismy. Je-li některé homomorfismem, rozhodněte dále, zda se jedná o izomorfismus [2], a určete jeho jádro [1] a obraz [1].
4. Jsou dány permutace s, i £ §iq\
s = (1,9,5,4,2,8) o (2, 3,8) o (1,4,9), t = (3, 6,9, 5,4) o (1, 7, 8, 2) o (1,2, 8,6) o (3,4,9).
a) Určete řád permutací s [1] a í [1].
b) Spočtěte s"1 [1], t-1 [1] a s15 o t12 o s2006 [1].
c) Určete podgrupu H < §io [3] generovanou prvky saí (neboli H = ({s, t})) a popište všechny její podgrupy [3].
d) Rozhodněte, zda je H normální podgrupou §iq. [2]
e) Je H komutativní? [2]
5. Zjistěte, ve které rozkladové třídě Z17 leží číslo 555 + li11" [5], a určete inverzní prvek k této třídě v (Z17, ■) [5].