MB101/09 -- A -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [3, -1], B = [4, 10], C = [-3, 7], D = [-1, 3] a E = [-5, -2]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [3, -1], B = [5, 5], C = [2, 10], D = [-1, 6], E = [-3, 2]
a F = [-2, -3]. Vypočítejte, zda z bodu Z = [10, 8] vidíte hrany AB, BC a AF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : R \ {0}  R+ dané předpisem
f(x) = x2
je surjektivní, injektivní či bijektivní.
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  |x| < |y|,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině N daná předpisem
x, y  N, x  y  x a y mají stejný počet cifer
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad N/.
MB101/09 -- A -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [3, -1], B = [4, 10], C = [-3, 7], D = [-1, 3] a E = [-5, -2]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [3, -1], B = [5, 5], C = [2, 10], D = [-1, 6], E = [-3, 2]
a F = [-2, -3]. Vypočítejte, zda z bodu Z = [10, 8] vidíte hrany AB, BC a AF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : R \ {0}  R+ dané předpisem
f(x) = x2
je surjektivní, injektivní či bijektivní.
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  |x| < |y|,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině N daná předpisem
x, y  N, x  y  x a y mají stejný počet cifer
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad N/.
MB101/09 -- B -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [-1, 3], B = [-1, -3], C = [3, -6], D = [10, -1] a E = [7, 10]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [1, -10], B = [10, -3], C = [4, 9], D = [-2, 14], E = [-6, 8]
a F = [-9, 2]. Vypočítejte, zda z bodu Y = [-1, 17] vidíte hrany CD, DE a EF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
x + 1
2
je surjektivní, injektivní či bijektivní. (Funkce [x] určuje celou část čísla, tzn. [x] je největší celé číslo, které
nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  x + y je liché,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině Z daná předpisem
x, y  Z, x  y  x  y (mod 5)
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad Z/.
MB101/09 -- B -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [-1, 3], B = [-1, -3], C = [3, -6], D = [10, -1] a E = [7, 10]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [1, -10], B = [10, -3], C = [4, 9], D = [-2, 14], E = [-6, 8]
a F = [-9, 2]. Vypočítejte, zda z bodu Y = [-1, 17] vidíte hrany CD, DE a EF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
x + 1
2
je surjektivní, injektivní či bijektivní. (Funkce [x] určuje celou část čísla, tzn. [x] je největší celé číslo, které
nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  x + y je liché,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině Z daná předpisem
x, y  Z, x  y  x  y (mod 5)
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad Z/.
MB101/10 -- A -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [2, 5], B = [3, -4], C = [6, 6], D = [1, 9] a E = [-2, 3]. Vypočítejte obsah pětiúhelníku
ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [3, -1], B = [5, 5], C = [2, 10], D = [-1, 6], E = [-3, 2]
a F = [-2, -3]. Vypočítejte, zda z bodu X = [-20, -4] vidíte hrany CD, DE a EF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
x - 1, je-li x sudé,
x + 1, je-li x liché,
je surjektivní, injektivní či bijektivní.
4. Určete vlastnosti relace na množině R dané předpisem
x, y  R, x  y  |x - y|  1,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině R daná předpisem
x, y  R, x  y  [x] = [y]
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad R/. (Funkce [x] určuje celou část čísla,
tzn. [x] je největší celé číslo, které nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
MB101/10 -- A -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [2, 5], B = [3, -4], C = [6, 6], D = [1, 9] a E = [-2, 3]. Vypočítejte obsah pětiúhelníku
ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [3, -1], B = [5, 5], C = [2, 10], D = [-1, 6], E = [-3, 2]
a F = [-2, -3]. Vypočítejte, zda z bodu X = [-20, -4] vidíte hrany CD, DE a EF.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
x - 1, je-li x sudé,
x + 1, je-li x liché,
je surjektivní, injektivní či bijektivní.
4. Určete vlastnosti relace na množině R dané předpisem
x, y  R, x  y  |x - y|  1,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině R daná předpisem
x, y  R, x  y  [x] = [y]
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad R/. (Funkce [x] určuje celou část čísla,
tzn. [x] je největší celé číslo, které nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
MB101/10 -- B -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [-1, 4], B = [-2, -1], C = [-1, -5], D = [3, 2] a E = [8, 6]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [1, -10], B = [10, -3], C = [4, 9], D = [-2, 14], E = [-6, 8]
a F = [-9, 2]. Vypočítejte, zda z bodu X = [-12, -2] vidíte hrany AF, EF a DE.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
3x + 1
2
je surjektivní, injektivní či bijektivní. (Funkce [x] určuje celou část čísla, tzn. [x] je největší celé číslo, které
nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  |x|  |y|,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině Z daná předpisem
x, y  Z, x  y  x  y (mod 3)
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad Z/.
MB101/10 -- B -- II. PÍSEMNÁ PRÁCE -- 31. října 2006
1. Jsou dány body A = [-1, 4], B = [-2, -1], C = [-1, -5], D = [3, 2] a E = [8, 6]. Vypočítejte obsah
pětiúhelníku ABCDE.
2. Je dán šestiúhelník ABCDEF, kde A = [1, -10], B = [10, -3], C = [4, 9], D = [-2, 14], E = [-6, 8]
a F = [-9, 2]. Vypočítejte, zda z bodu X = [-12, -2] vidíte hrany AF, EF a DE.
3. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda zobrazení f : N  N dané předpisem
f(x) =
3x + 1
2
je surjektivní, injektivní či bijektivní. (Funkce [x] určuje celou část čísla, tzn. [x] je největší celé číslo, které
nepřevyšuje x, např. 4
5
= 0 a -4
5
= -1.)
4. Určete vlastnosti relace na množině N dané předpisem
x, y  N, x  y  |x|  |y|,
tj. zda je reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, zda je to relace ekvivalence či uspořádání.
Tvrzení buď dokažte nebo uveďte protipříklad.
5. Rozhodněte (tzn. dokažte nebo uveďte protipříklad), zda relace na množině Z daná předpisem
x, y  Z, x  y  x  y (mod 3)
je relací ekvivalence. Pokud ano, tak stanovte příslušný rozklad Z/.