Čtvrtý zápočtový test ­ A
Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda je matice
Q =
1
2





1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1




ortogonální. Svou odpověď musíte zdůvodnit.
Řešení. Matice Q je ortogonální. Součinem matic Q a QT
je totiž matice jednotková,
tj. je
Q  QT
= QT
 Q =




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 .
Příklad 2 (2 body). Jestliže lineární transformaci F : R3
 R3
reprezentuje v nějaké
bázi označené jako  matice 

4 1 0
-1 8 4
0 5 -1


a lineární zobrazení G : R3
 R5
zadává v bázi  prostoru R3
a bázi  prostoru R5
matice






0 -2 1
3 -1 0
2 -4 7
2 -4 7
2 -4 7






,
určete matici reprezentující lineární zobrazení G  F v bázích  a .
Řešení. Výsledek je (viz cvičení)






2 -11 -9
13 -5 -4
12 5 -23
12 5 -23
12 5 -23






.
Příklad 3 (3 body). Nalezněte Ker L a Im L lineárního zobrazení R3
do R3
zadaného
vztahem
L((x1, x2, x3)) = (3x1 + x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 + 3x3, 2x1 + x3)
pro libovolný vektor (x1, x2, x3)  R3
.
Řešení. Výsledek je
Ker L = {a  (1, 1, -2); a  R},
Im L = {b  (1, 2, 0) + c  (3, 4, 2); b, c  R}.
Příklad 4 (1 bod). Kdy jsou dvě čtvercové matice A a B stejného řádu (téhož roz-
měru) podobné? Uveďte definici nebo nějakou nutnou a současně postačující podmínku.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 97.
Příklad 5 (2 body). Vypočítejte (či jinak určete) ortogonální doplněk (komplement)
podprostoru U prostoru R4
, jestliže je nadrovina U generována vektory
(1, -8, 0, 1), (11, 3, 0, 1), (4, 0, 0, -1), (0, 5, 0, 6), (-11, -3, 0, 1).
Řešení. Zřejmě je
U
= Span (0, 0, 1, 0) = {k  (0, 0, 1, 0); k  R}.
Příklad 6 (2 body). Nechť je dáno n  N. Zvolme n různých bodů x1, . . . , xn  R.
Potom v prostoru Pn reálných polynomů stupně nejvýše n pro libovolné funkce p, q  Pn
položme
p, q :=
n
k=1
p(xk)  q(xk).
Dokažte, nebo vyvraťte, že se jedná o skalární součin. Pokud se jedná o skalární součin,
určete vzdálenost vektorů 1 a -1 v Pn.
Řešení. Nejedná se o skalární součin. Stačí uvážit polynom
(x - x1)  (x - x2)    (x - xn),
který je stupně n, je nenulový, ale jeho norma indukovaná daným skalárním součinem by
pak musela být nulová, což nelze.
Uvědomte si, že ve skriptu doc. Hilschera na str. 107 bylo zvoleno n+1 různých reálných
čísel, nikoli pouze n.
Příklad 7 (3 body). V trojrozměrném reálném prostoru se standardním skalárním
součinem určete odchylku (směrového vektoru) přímky zadané rovnicemi
x + y + 3z = 0,
x - y - z = 0
od roviny
2x + y + z = 0
metodou nejmenším čtverců (jiný způsob výpočtu nebude uznán).
Uvědomte si, že byste mohli začít výpočtem ortogonálních doplňků.
Řešení. Výsledek je

6
.
Příklad 8 (1 bod). Napište nějakou ortonormální bázi prostoru Mat2×2 s tzv. Frobe-
niovou normou. (Norma v tomto případě (viz cvičení) zpětně určuje skalární součin ­ tím
i pojem kolmosti vektorů.)
Řešení. Hledaná ortonormální báze může být např. tvořena maticemi
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
.