Čtvrtý zápočtový test ­ B
Příklad 1 (1 bod). Vypočítejte stopu matice


-7 -6 -5
2 7 714
-12

3 0

 .
Řešení. Výsledek je (viz skriptum doc. Hilschera, str. 97)
7 - 7.
Příklad 2 (2 body). Dokažte zobecnění Pythagorovy věty v podobě:
Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva v něm na sebe
kolmé vektory u, v platí
|| u + v ||2
= || u ||2
+ || v ||2
.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 108.
Příklad 3 (2 body). Nechť jsou dány dvě báze
 = ((1, 0, -1, 2, 3), (-2, 1, 4, -3, 1)),  = ((0, 1, 2, 1, 7), (-1, 2, 5, 0, 11))
nějakého podprostoru R5
. Určete matici přechodu od báze  k bázi  a poté matici pře-
chodu od báze  k bázi . Explicitně uveďte, která matice je která.
Řešení. Matice přechodu od báze  k bázi  je
2 -3
-1 2
a matice přechodu od báze  k bázi  je
2 3
1 2
.
Příklad 4 (3 body). Nalezněte všechny hodnoty parametrů ,   R, pro které jsou
vektory (0,  + 2,  + 1,  + 1) a ( - 2, 1 - ,  + 1, 3 - ) v euklidovském (Euklidovském)
prostoru R4
normované. (Samozřejmě, pro každý vektor zvlášť.)
Řešení. V prvním případě existují dvě možné volby parametru
 = -1,  = -
5
3
.
Ve druhém případě hledané  neexistuje.
Příklad 5 (2 body). Nechť je zadáno lineární zobrazení F : Mat2×2  R2
předpisem
F :
a b
c d
 -a + b +
5
2
c +
1
2
d, -2a + b + 2c + d ,
a b
c d
 Mat2×2.
Určete matici reprezentující toto zobrazení v bázích
1 0
1 1
,
-1 0
-1 1
,
0 1
0 0
,
1 1
0 0
a
(1, 0), (0, 1).
Řešení. Výsledek je (viz cvičení)
2 -1 1 0
1 1 1 -1
.
Příklad 6 (2 body). Body v rovině [1, 0], [-3, 0], [-1, 4], [0, 2], [-2, 0] proložte re-
gresní přímku. Nalezněte tedy nejlepší aproximaci (minimalizujte hodnotu součtu obsahů
čtverců s délkami stran rovnými velikosti rozdílu souřadnic y pro jednotlivá x) těchto bodů
přímkou za pomoci metody nejmenších čtverců.
Řešení. Hledaná přímka je
y =
1
5
x + 1
2
5
.
Příklad 7 (2 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R5
uvažujte podpro-
stor určený vektory (1, 1, -1, -1, 0), (1, -1, -1, 0, -1), (1, 1, 0, 1, 1), (-1, 0, -1, 1, 1). Na-
lezněte nějakou ortogonální bázi jeho ortogonálního doplňku.
Řešení. Hledaná báze obsahuje jediný vektor. Je jím nějaký nenulový skalární násobek
vektoru
(3, -7, 1, -5, 9).
Příklad 8 (1 body). Ve vektorovém prostoru reálných 2 × 2 matic je libovolným
dvěma maticím
A =
a b
c d
, B =
e f
g h
přiřazeno reálné číslo a  g + b  f + 4 c  e + d  g. Jedná se o skalární součin? Svou odpověď
musíte odůvodnit.
Řešení. Nejedná. Stačí uvážit např.
A = B =
0 0
0 1
.