Čtvrtý zápočtový test ­ C
Příklad 1 (3 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4
nalezněte nějakou
ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, -7),
(4, -2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, -1), (1, 1, -5, 3), (3, 2, 8, -7).
Řešení. Hledaných bází je v obou případech nekonečně mnoho. Při zachování pořadí
podprostorů ze zadání jsou jimi např.
((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, -7))
a
((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2)).
Příklad 2 (2 body). Nechť je lineární transformace f : P2  P2 reprezentována
v bázi (1, x, x2
) maticí 

0 1 1
1 0 -1
-1 -1 0

 .
Jaká je maticová reprezentace tohoto zobrazení v bázi
(x - x2
, x2
+ 1 - x, x - 1)?
Řešení. Výsledek je 

1 0 0
0 0 0
0 0 -1

 .
Příklad 3 (1 bod). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4
najděte nějakou bázi
ortogonálního doplňku podprostoru U  R4
zadaného systémem homogenních lineárních
rovnic
x1 + x2 + x3 + x4 = 0,
x1 - x2 + x3 - x4 = 0,
x1 - x2 - x3 + x4 = 0.
(Předešlým se rozumí, že U je podprostorem R4
všech řešení dané homogenní soustavy.)
Nepočítejte, přemýšlejte.
Řešení. Hledanou bází je např.








1
1
1
1



 ,




1
-1
1
-1



 ,




1
-1
-1
1







 .
Podívejte se na koeficienty jednotlivých rovnic.
Příklad 4 (2 body). Doplňte posloupnost vektorů 1 - x2
+ x3
, 1 + x2
+ x3
, 1 - x - x3
na nějakou bázi P3.
Řešení. Přidáte-li např. k těmto vektorům v P3 polynom x, dostaneme bázi P3.
Příklad 5 (2 body). Uveďte Cauchy-Schwarzovu nerovnost a dokažte, že pro kaž-
dé n  N a libovolná reálná čísla x1, x2, . . . , xn platí odhad
x1 + x2 +    + xn
n

x2
1 + x2
2 +    + x2
n
n
.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera (str. 98) a především cvičení.
Příklad 6 (1 bod). Nechť je dán euklidovský (Euklidovský) vektorový prostor Rn
.
Určete čemu se rovná {0}
a (Rn
)
? Čemu potom (Rn
)

a {0} 
?
Řešení. Platí
{0}
= Rn
, (Rn
)
= {0}, (Rn
)

= Rn
, {0} 
= {0}.
Příklad 7 (3 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4
nalezněte ortogo-
nální projekci vektoru (-2, 2, 2, 5) do podprostoru (1, 1, -1, 2), (3, 1, 0, 1), (2, 0, 1, -1) .
Řešení. Výsledek je
(-1, 1, -2, 3).
Příklad 8 (1 bod). V prostoru Rn
, kde n  N je libovolné, definujte nějaké dvě navzá-
jem různé normy. Alespoň v jednom případě poté uveďte, zda je daná norma odvozena od
skalárního součinu, tj. napište, zda existuje takový skalární součin na Rn
, který indukuje
právě tuto normu.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 110.