Čtvrtý zápočtový test ­ D
Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda jsou (či nejsou) matice
A =


1 8 -9
0 7 159
0 7 1123

 , B =


2 1 1
4 2 3
0 0

113


podobné.
Řešení. Matice zjevně podobné nejsou: matice A je regulární, zatímco matice B nikoli.
V relaci ekvivalence na množině čtvercových matic daného rozměru zvané ,,podobnost"
jsou pouze matice se stejným determinantem. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 97.
Příklad 2 (3 body). Stanovte dim Ker AT
, je-li:
a) A =




2 2 3 4
5 1 2 3
5 5 1 2
1 1 1 1



;
b) Im A = {k  (1); k  R};
c) Im A = {k  (1, 2)T
+ l(0, -1)T
; k, l  R}.
Řešení. Ve všech třech případech je dim Ker AT
= 0 .
Příklad 3 (3 body). Nechť je dáno lineární zobrazení f : R3
 R3
. Určete matici
transformace f v bázi  prostoru R3
tvořené po řadě vektory


1
0
0

 ,


0
1
0

 ,


0
0
1

 .
Tj. při značení ze cvičení najděte (f),.
Přitom víte, že
f




2
3
5



 =


1
1
1

 , f




0
1
2



 =


1
1
-1

 , f




1
0
0



 =


2
1
2

 ,
kde všechny uvedené vektory jsou vyjádřeny ve standardní bázi .
Řešení. Výsledek je (viz cvičení)


2 -11 6
1 -7 4
2 -1 0

 .
Příklad 4 (1 bod). Vypište všechny ortogonální matice řádu 1 (tj. rozměru 1 × 1).
Řešení. Jednorozměrné ortogonální matice existují pouze dvě. Jsou to
1 a (-1).
Příklad 5 (2 body). Nechť jsou v euklidovském (Euklidovském) prostoru R4
dány
vektory
(1, -2, 2, 1), (1, 3, 2, 1).
Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého R4
. (Můžete
k tomu využít kupř. Gram-Schmidtův ortogonalizační proces.)
Řešení. Hledaných doplnění je nekonečně mnoho. Jedním (skutečně jednoduchým) je
např.
(1, -2, 2, 1), (1, 3, 2, 1), (1, 0, 0, -1), (1, 0, -1, 1).
Příklad 6 (2 body). Jsou v euklidovském (Euklidovském) prostoru R4
vektory
a) (1, -2, 2, 1), (1, 3, 2, 1), (-1, 0, 1, -1),
b) (1, 0, 1, 4), (1, -4, 0, -1),
c) (1, 2,

3, 4),
d) (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, -1, 2), (8, 4, 8, 8)
ortogonální? Tj. ptáme se (protože dané vektory jsou vždy lineárně nezávislé), zda tvoří
ortogonální bázi podprostoru, který generují? Ano, či ne?
Řešení. Správné odpovědi jsou:
a) Ano.
b) Ne.
c) Ano.
d) Ano.
Příklad 7 (3 body). V reálném prostoru R3
se standardním skalárním součinem naj-
děte metodou nejmenších čtverců bod roviny (1, 1, -2), (3, 1, -1) , který je nejblíže bo-
du [ 3, -7, 8 ].
Řešení. Výsledek je
34
15
, -
10
3
,
142
15
.