Čtvrtý zápočtový test ­ A Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda je matice Q = 1 2 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 ortogonální. Svou odpověď musíte zdůvodnit. Příklad 2 (2 body). Jestliže lineární transformaci F : R3 R3 reprezentuje v nějaké bázi označené jako matice 4 1 0 -1 8 4 0 5 -1 a lineární zobrazení G : R3 R5 zadává v bázi prostoru R3 a bázi prostoru R5 matice 0 -2 1 3 -1 0 2 -4 7 2 -4 7 2 -4 7 , určete matici reprezentující lineární zobrazení G F v bázích a . Příklad 3 (3 body). Nalezněte Ker L a Im L lineárního zobrazení R3 do R3 zadaného vztahem L((x1, x2, x3)) = (3x1 + x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 + 3x3, 2x1 + x3) pro libovolný vektor (x1, x2, x3) R3 . Příklad 4 (1 bod). Kdy jsou dvě čtvercové matice A a B stejného řádu (téhož roz- měru) podobné? Uveďte definici nebo nějakou nutnou a současně postačující podmínku. Příklad 5 (2 body). Vypočítejte (či jinak určete) ortogonální doplněk (komplement) podprostoru U prostoru R4 , jestliže je nadrovina U generována vektory (1, -8, 0, 1), (11, 3, 0, 1), (4, 0, 0, -1), (0, 5, 0, 6), (-11, -3, 0, 1). Příklad 6 (2 body). Nechť je dáno n N. Zvolme n různých bodů x1, . . . , xn R. Potom v prostoru Pn reálných polynomů stupně nejvýše n pro libovolné funkce p, q Pn položme p, q := n k=1 p(xk) q(xk). Dokažte, nebo vyvraťte, že se jedná o skalární součin. Pokud se jedná o skalární součin, určete vzdálenost vektorů 1 a -1 v Pn. Příklad 7 (3 body). V trojrozměrném reálném prostoru se standardním skalárním součinem určete odchylku (směrového vektoru) přímky zadané rovnicemi x + y + 3z = 0, x - y - z = 0 od roviny 2x + y + z = 0 metodou nejmenším čtverců (jiný způsob výpočtu nebude uznán). Uvědomte si, že byste mohli začít výpočtem ortogonálních doplňků. Příklad 8 (1 bod). Napište nějakou ortonormální bázi prostoru Mat2×2 s tzv. Frobe- niovou normou. (Norma v tomto případě (viz cvičení) zpětně určuje skalární součin ­ tím i pojem kolmosti vektorů.) Čtvrtý zápočtový test ­ B Příklad 1 (1 bod). Vypočítejte stopu matice -7 -6 -5 2 7 714 -12 3 0 . Příklad 2 (2 body). Dokažte zobecnění Pythagorovy věty v podobě: Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva v něm na sebe kolmé vektory u, v platí || u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2 . Příklad 3 (2 body). Nechť jsou dány dvě báze = ((1, 0, -1, 2, 3), (-2, 1, 4, -3, 1)), = ((0, 1, 2, 1, 7), (-1, 2, 5, 0, 11)) nějakého podprostoru R5 . Určete matici přechodu od báze k bázi a poté matici pře- chodu od báze k bázi . Explicitně uveďte, která matice je která. Příklad 4 (3 body). Nalezněte všechny hodnoty parametrů , R, pro které jsou vektory (0, + 2, + 1, + 1) a ( - 2, 1 - , + 1, 3 - ) v euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 normované. (Samozřejmě, pro každý vektor zvlášť.) Příklad 5 (2 body). Nechť je zadáno lineární zobrazení F : Mat2×2 R2 předpisem F : a b c d -a + b + 5 2 c + 1 2 d, -2a + b + 2c + d , a b c d Mat2×2. Určete matici reprezentující toto zobrazení v bázích 1 0 1 1 , -1 0 -1 1 , 0 1 0 0 , 1 1 0 0 a (1, 0), (0, 1). Příklad 6 (2 body). Body v rovině [1, 0], [-3, 0], [-1, 4], [0, 2], [-2, 0] proložte re- gresní přímku. Nalezněte tedy nejlepší aproximaci (minimalizujte hodnotu součtu obsahů čtverců s délkami stran rovnými velikosti rozdílu souřadnic y pro jednotlivá x) těchto bodů přímkou za pomoci metody nejmenších čtverců. Příklad 7 (2 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R5 uvažujte podpro- stor určený vektory (1, 1, -1, -1, 0), (1, -1, -1, 0, -1), (1, 1, 0, 1, 1), (-1, 0, -1, 1, 1). Na- lezněte nějakou ortogonální bázi jeho ortogonálního doplňku. Příklad 8 (1 body). Ve vektorovém prostoru reálných 2 × 2 matic je libovolným dvěma maticím A = a b c d , B = e f g h přiřazeno reálné číslo a g + b f + 4 c e + d g. Jedná se o skalární součin? Svou odpověď musíte odůvodnit. Čtvrtý zápočtový test ­ C Příklad 1 (3 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 nalezněte nějakou ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, -7), (4, -2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, -1), (1, 1, -5, 3), (3, 2, 8, -7). Příklad 2 (2 body). Nechť je lineární transformace f : P2 P2 reprezentována v bázi (1, x, x2 ) maticí 0 1 1 1 0 -1 -1 -1 0 . Jaká je maticová reprezentace tohoto zobrazení v bázi (x - x2 , x2 + 1 - x, x - 1)? Příklad 3 (1 bod). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku podprostoru U R4 zadaného systémem homogenních lineárních rovnic x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1 - x2 + x3 - x4 = 0, x1 - x2 - x3 + x4 = 0. (Předešlým se rozumí, že U je podprostorem R4 všech řešení dané homogenní soustavy.) Nepočítejte, přemýšlejte. Příklad 4 (2 body). Doplňte posloupnost vektorů 1 - x2 + x3 , 1 + x2 + x3 , 1 - x - x3 na nějakou bázi P3. Příklad 5 (2 body). Uveďte Cauchy-Schwarzovu nerovnost a dokažte, že pro kaž- dé n N a libovolná reálná čísla x1, x2, . . . , xn platí odhad x1 + x2 + + xn n x2 1 + x2 2 + + x2 n n . Příklad 6 (1 bod). Nechť je dán euklidovský (Euklidovský) vektorový prostor Rn . Určete čemu se rovná {0} a (Rn ) ? Čemu potom (Rn ) a {0} ? Příklad 7 (3 body). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 nalezněte ortogo- nální projekci vektoru (-2, 2, 2, 5) do podprostoru (1, 1, -1, 2), (3, 1, 0, 1), (2, 0, 1, -1) . Příklad 8 (1 bod). V prostoru Rn , kde n N je libovolné, definujte nějaké dvě navzá- jem různé normy. Alespoň v jednom případě poté uveďte, zda je daná norma odvozena od skalárního součinu, tj. napište, zda existuje takový skalární součin na Rn , který indukuje právě tuto normu. Čtvrtý zápočtový test ­ D Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda jsou (či nejsou) matice A = 1 8 -9 0 7 159 0 7 1123 , B = 2 1 1 4 2 3 0 0 113 podobné. Příklad 2 (3 body). Stanovte dim Ker AT , je-li: a) A = 2 2 3 4 5 1 2 3 5 5 1 2 1 1 1 1 ; b) Im A = {k (1); k R}; c) Im A = {k (1, 2)T + l(0, -1)T ; k, l R}. Příklad 3 (3 body). Nechť je dáno lineární zobrazení f : R3 R3 . Určete matici transformace f v bázi prostoru R3 tvořené po řadě vektory 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 . Tj. při značení ze cvičení najděte (f),. Přitom víte, že f 2 3 5 = 1 1 1 , f 0 1 2 = 1 1 -1 , f 1 0 0 = 2 1 2 , kde všechny uvedené vektory jsou vyjádřeny ve standardní bázi . Příklad 4 (1 bod). Vypište všechny ortogonální matice řádu 1 (tj. rozměru 1 × 1). Příklad 5 (2 body). Nechť jsou v euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 dány vektory (1, -2, 2, 1), (1, 3, 2, 1). Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého R4 . (Můžete k tomu využít kupř. Gram-Schmidtův ortogonalizační proces.) Příklad 6 (2 body). Jsou v euklidovském (Euklidovském) prostoru R4 vektory a) (1, -2, 2, 1), (1, 3, 2, 1), (-1, 0, 1, -1), b) (1, 0, 1, 4), (1, -4, 0, -1), c) (1, 2, 3, 4), d) (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, -1, 2), (8, 4, 8, 8) ortogonální? Tj. ptáme se (protože dané vektory jsou vždy lineárně nezávislé), zda tvoří ortogonální bázi podprostoru, který generují? Ano, či ne? Příklad 7 (3 body). V reálném prostoru R3 se standardním skalárním součinem naj- děte metodou nejmenších čtverců bod roviny (1, 1, -2), (3, 1, -1) , který je nejblíže bo- du [ 3, -7, 8 ].