Druhý zápočtový test ­ A
Příklad 1 (2 body). Rozhodněte, zda je níže zavedená relace R na množině celých
čísel Z (tedy R  Z × Z) tranzitivní. (Dokažte, že ano. Jinak uveďte protipříklad.) Nechť
je definováno
a)
[a, b]  R  | a |  | b |,
b)
[a, b]  R  a | 2 b.
Řešení. V prvním případě relace R tranzitivní je, tj.
[a, b]  R, [b, c]  R = [a, c]  R,
protože platí
| a |  | b |, | b |  | c | = | a |  | c |.
Za ,,b)". Relace R tranzitivní není. Stačí si uvědomit, že
[4, 2], [2, 1]  R,
ale zároveň
[4, 1] / R.
Příklad 2 (1 bod). Napište všechny dvojice rovnic, které určují stejnou přímku, z ná-
sledujících: 2x+3y-4 = 0; x-y+3 = 0; -2x+2y = -6; -x- 3
2
y+2 = 0; -5x- 5
2
y = -2;
x = 6t, y = 5t, t  R.
Řešení. První (tj. 2x + 3y - 4 = 0) a čtvrtá (tj. -x - 3
2
y + 2 = 0) rovnice určují
stejnou přímku. Jiná dvojice rovnic ze zadání neexistuje. (Uvažte, že zde vlastně vytváříte
jednoduchou relaci ekvivalence (a tím také rozklad): rovnice jsou v relaci, právě když určují
stejnou přímku.)
Příklad 3 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu dvojrozměrné matice (jiný
způsob výpočtu nebude uznán), určete obsah čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [0, -2],
[1, -1], [-1, 1] a [1, 5].
Řešení. Obsah trojúhelníku určeného vrcholy [0, -2], [1, -1] a [-1, 1] (resp. [0, 0], [1, 1]
a [-1, 3]) je 2, zatímco obsah trojúhelníku určeného vrcholy [1, -1], [-1, 1] a [1, 5] je 6.
Proto je výsledek 8. (Obdržíme ho jako součet obsahů uvedených trojúhelníků.)
Příklad 4 (2 body). Najděte konvexní obal bodů [-1, 1], [3, -5], [1, 7], [0, 4], [0, 2],
[0, 0], [-1, 0], [-1, -4], [2, -4] a [0, -4]. Výpočtem determinantů (nikoli jinak) poté určete,
které hrany vzniklého mnohoúhelníku jsou viditelné z pozice bodu [-100 000, 0]. (Nemusíte
vše vyčíslovat; pouze odhadnout, zda je výraz kladný, či záporný.)
Řešení. Konvexním obalem uvedených bodů je čtyřúhelník s vrcholy [3, -5], [1, 7],
[-1, 1], [-1, -4], jehož všechny hrany jsou viditelné s jedinou výjimkou ­ hranou spo-
jující body [3, -5] a [1, 7].
Příklad 5 (2 body). Udejte příklad dvou nenulových 2 × 2 matic A, B (tj. matice
A, B mají mít právě dva řádky a dva sloupce) takových, aby jejich součinem (v uvedeném
pořadí) byla nulová matice.
Zároveň udejte příklad takové 2 × 2 matice C, aby jejím součinem (lhostejno zleva, či
zprava) s nulovou 2 × 2 maticí byla nenulová matice.
Řešení. V případě matic A, B lze odkázat na skriptum doc. Hilschera, str. 15 dole.
Ve druhém případě nelze uvést žádný příklad: hledaná matice C neexistuje ­ vyplývá to
z toho, jak je definován součin dvou matic.
Příklad 6 (1 bod). Napište nějakou relaci R na množině N, která je symetrická, ale
není reflexivní.
Řešení. Takovou relací R  N × N je např.
{[1, 2] , [2, 1]}.
Příklad 7 (1 bod). Nechť je dáno zobrazení f : A  B (potažmo jsou tak záro-
veň dány množiny A, B). Uveďte definici grafu zobrazení f. (Zobrazení je zvláštní případ
relace.)
Řešení. Odpovědí by mělo být
{[a, f(a)] ; a  A}.
Viz skriptum doc. Hilschera, str. 21.
Příklad 8 (2 body). Na množině X = {1, 2, 3, 4, 5} je dán rozklad
R = {{2, 3}, {1, 4, 5}},
tj. je dán rozklad množiny X, který má dvě třídy, a to {2, 3} a {1, 4, 5}.
Určete relaci ekvivalence R (můžeme ji též značit jako ) na množině X příslušnou
rozkladu R.
Řešení. Výsledek je
R = {[1, 1] , [2, 2] , [3, 3] , [4, 4] , [5, 5] , [2, 3] , [3, 2] , [1, 4] , [1, 5] , [4, 1] , [4, 5] , [5, 1] , [5, 4]}.
Příklad 9 (1 bod). Uveďte příklad množiny A takové, aby uspořádaní  na množině
všech podmnožin množiny A bylo úplné. (Dokažte, že je úplné. Pokud taková množina
neexistuje, objasněte proč.)
Řešení. Volba A := , resp. volba jednoprvkové množiny A, určuje jednoprvkovou,
resp. dvouprvkovou, (tzv. lineárně, mluvíme o řetězci ­ viz cvičení) uspořádanou množinu
2A
,  , jejíž všechny prvky jsou evidentně srovnatelné.
Příklad 10 (1 bod). Uveďte kolik lze definovat různých relací mezi množinami M
a 2M
, jestliže je řád množiny M roven 3 (tedy má-li množina M tři prvky).
Řešení. Výsledek je
224
,
neboť množina M × 2M
má 24 prvků.