Druhý zápočtový test ­ B
Příklad 1 (3 body). Stanovte výměru (rozlohu ve smyslu obsahu) pozemku, jenž je
na pozemkové mapě ohraničen body o kótách [-7, 1], [-1, 0], [24, 2], [25, 1], [29, 0] a [17, 5].
(Jednotky nás nezajímají. Jsou určeny poměrem pozemkové mapy vůči skutečnosti: výsle-
dek je očekáván vzhledem ke kvadratickým jednotkám pozemkové mapy.)
Řešení. Uvažovaný šestiúhelník můžeme rozdělit např. na čtyři trojúhelníky s vrcholy
[-7, 1], [-1, 0], [17, 5]; [24, 2], [-1, 0], [17, 5]; [-1, 0], [24, 2], [25, 1]; resp. [-1, 0], [25, 1],
[29, 0]. Jejich obsahy jsou po řadě 24; 89
2
= 44, 5; 27
2
= 13, 5 a 15, a proto je výsledek
24 + 44
1
2
+ 13
1
2
+ 15 = 97.
Příklad 2 (1 bod). Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p :
2x - y + 1 = 0, q : 3x + 2 = 0. Jedná-li se o různoběžky, najděte jejich průsečík.
Řešení. Skutečně se jedná o různoběžky s průsečíkem
P = -
2
3
; -
1
3
.
Příklad 3 (1 bod). Uveďte příklad nějaké matice, která má právě dva řádky a dva
sloupce (je čtvercově dvojrozměrná) a která má determinant roven

5.
Řešení. Jednoduchým příkladem takové matice může být
1 0
0

5
.
Příklad 4 (2 body). Určete, které hrany čtyřúhelníku zadaného vrcholy [-2, -2],
[3, 3], [1, 4] a [2, 1] jsou viditelné z pozice bodu [3, -2]. Určit je musíte za pomoci výpočtu,
nikoli obrázku!
Řešení. Úloha je řešitelná např. jako modelová úloha na viditelnost hran mnohoúhel-
níku v rovině (viz skriptum doc. Hilschera, str. 18). Doplňme, že vidět jsou právě dvě hrany
čtyřúhelníku určené dvojicemi vrcholů [-2, -2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3].
Příklad 5 (1 bod). Uveďte příklad množiny A, pro kterou platí, že A  2A
a zároveň
že A  2A
.
Řešení. Toto platí pro A = .
Příklad 6 (2 body). Nechť R a S jsou relace na množině X. Dokažte, že pokud jsou
obě tyto relace symetrické, nemusí být relace S  R symetrická. (Dodejme, že jejich průnik
i sjednocení je symetrickou relací, jak víme ze cvičení ­ to není potřeba dokazovat.)
Řešení. Stačí uvést jeden konkrétní protipříklad. Nechť je tedy např. X = {a, b, c},
R = {[a, b], [b, a]} a S = {[b, c], [c, b]}. Potom je
S  R = {[a, c]}.
Příklad 7 (2 body). Na množině M = {1, 2, 3, . . . , 18, 19, 20} je definována relace 
pro všechna a, b  M takto
a  b  první číslice čísel a, b jsou stejné.
Tudíž, např. je 1  17, 14  19, 2  20. Dokažte, že relace  je ekvivalence a sestrojte
rozklad příslušný ekvivalenci .
Řešení. Dokázat, že se jedná o ekvivalenci je nesmírně jednoduché, a proto pouze
uveďme, že rozklad jí určený je tvaru
{{1, 10, 11, 12, . . . , 18, 19}, {2, 20}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}}.
Příklad 8 (2 body). Uveďte příklad zobrazení f : X  X, které je injektivní, ale
není surjektivní; a příklad zobrazení g : X  X, které je surjektivní, ale není injektivní.
Řešení. Zaznělo na cvičení.
Příklad 9 (1 bod). Udejte příklad rozkladu na R (na množině reálných čísel), který
má konečně mnoho tříd, přičemž každá třída obsahuje konečně mnoho prvků.
Řešení. Takový rozklad nekonečné množiny evidentně neexistuje.