Druhý zápočtový test - C
Příklad 1 (2 body). Rozhodněte, zda jsou zobrazení definovaná na E2 = E x E s obory hodnot v E x E značená
F ([a, b]) := [a+1,6-1]
a
G ([a, b]) := [6 a — 5 b, b — a]
lineárni.
Uvědomte si, že na E x E můžeme nahlížet jako na vektorový prostor a na uspořádané dvojice (nikoli body) značené [a, b], kde a, b G E, jako na vektory
(Ô-
Řešení. Obě tato zobrazení jsou afinní (viz skriptum doc. Hilschera, str. 16 nahoře). Ovšem pouze zobrazení G je lineární (jak lze lehce ověřit přímo z definice lineárního zobrazení: aditivnosti a homogennosti) - lze jej reprezentovat maticí
(-     * ) ■
Protože F nezobrazí dvojici [0, 0] samu na sebe, nemůže (viz opět skriptum doc. Hilschera, str. 16 nahoře) být lineární.                                                                                 D
Příklad 2 (3 body). Nechť je na množině M = {a, b, c, d} dána relace R. Rozhodněte, zda je R relací uspořádání (pak nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, R) a na jeho základě řekněte, jestli se jedná o úplné uspořádání), nebo relací ekvivalence, je-li:
(i) R= {[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [b,a], [b,c], [b,d]};
(ii) R= {[a,a],[b,b],[c,c],[d,d],[d,a],[b,c]}.
Řešení. V obou případech se jedná o uspořádání, které není úplné.                            D
Příklad 3 (1 bod). Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 — í, y = 1 + 3í, í G ÍR.
Řešení. Obecná rovnice přímky p je
3x + y - 7 = 0.
D
Příklad 4 (2 body). Určete, které hrany pětiúhelníku zadaného vrcholy [—2,-2], [—2, 2], [1, 4], [3,1] a [2, —^] jsou viditelné z pozice bodu [300,1]. Určit je musíte za pomoci výpočtu, nikoli obrázku! V případě jedné z hran můžete pouze podmínit její viditelnost splněním jisté nerovnosti (neuvést, zda tato nerovnost platí, či nikoliv - ale pouze říci, co by znamenalo, kdyby platila).
Řešení. Viditelné jsou tři hrany. Zvláště, hrana určená vrcholy [—2,-2], [2,—y] je viditelná z pozice bodu [300,1]. Zmíněná nerovnost je potom
17
302--------3 • 298 < 0.
6
Její platnost implikuje, že uvedená hrana je vidět.                                                         D
Příklad 5 (1 bod). Dokažte, že relace dělitelnosti na množině N (přirozených čísel) je antisynietrická, zatímco relace dělitelnosti na množině Z (celých čísel), Q (racionálních čísel) a E (reálných čísel) není antisymetrická.
Řešení. Opírá se o úvahy provedené na cvičení, kde jsme k tomuto závěru dospěli a kde jsme si řekli obecnou definici dělitelnosti (platnou nejen pro celá čísla).                         D
Příklad 6 (2 body). Rozhodněte, zda dané zobrazení /je injektivní, resp. surjektivní, jestliže
a)
/:ZxZ^Z,      f((x,y)) =x + y-10-x2;
b)
/:N^MxN,      f(x) = (2x,2x + x2 + 10).
Svá tvrzení odůvodněte.
Řešení. V případě za ,,a)" se jedná o surjektivní zobrazení (stačí položit x = 0), které není injektivní (uvažme volby (x,y) = (0, —9) a (x,y) = (1,0)).
Ve druhém případě se naopak jedná o injektivní zobrazení (obě jeho složky, tj. funkce 2x a 2x + x2 + 10, jsou rostoucí), které není surjektivní (dvojice (1, 1) evidentně nemá vzor).                                                                                                                                         D
Příklad 7 (2 body). Zjistěte, zda je tvrzení
a = b   -<=>-   sup {a,b} = inf {a, b}
pravdivé pro libovolnou uspořádanou množinu (A, <) a libovolné prvky a, b E A. (Uveďte důkaz, nebo protipříklad.)
Řešení. Tvrzení platí, což včetně odůvodnění de facto zaznělo na cvičení.                  D
Příklad 8(1 bod). Za pomoci rekurentní formule
Bn+l = YJCa\Bk)      Bo = l                                    (1)
fc=o ^  '
jsou pro všechna n E N U {0} zavedena tzv. Bellova čísla. Ze vzorce (1) bezprostředně dostáváme
B0 = 1,    Bx = 1,    B2 = 2,    B3 = 5,    B4 = 15,    B5 = 52,    B6 = 203, ...
Tato čísla (myšlena Bellova) na n-prvkové množině NEUDÁVAJÍ:
(a)        počet všech rozkladů, jenž je roven počtu všech ekvivalencí;
(b)        počet všech reflexivních, symetrických a tranzitivní relací,
které nejsou antisymetrické, zvýšený o 1;
(c)        počet všech reflexivních, symetrických a tranzitivní relací,
které nejsou antisymetrické.
Napište „a", „b", nebo „c".
Řešení. Správná odpověď je za „c", tj. Bellova čísla neudávají počet všech reflexivních, symetrických a tranzitivní relací, které nejsou antisymetrické.                                             D
Příklad 9 (1 bod). Nechť je dána uspořádaná množina (A, <) a neprázdná podmnožina B množiny A. Definujte supremum a infimum množiny B v množině A. (Uveďte definici nezaloženou na pomocných pojmech.)
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 25.
D