Druhý zápočtový test ­ D
Příklad 1 (2 body). Uveďte matici, která reprezentuje zrcadlení vzhledem k přímce
se směrovým vektorem svírajícím úhel  s vektorem e1 := (1, 0).
Řešení. Hledanou maticí je
cos 2 sin 2
sin 2 - cos 2
.
Jeden z možných způsobů jejího určení je uveden ve skriptu doc. Hilschera na str. 17.
Příklad 2 (2 body). V rovině ja dáno n  N přímek tak, že žádné dvě nejsou rovno-
běžné a žádné tři nemají společný bod. Na kolik částí rozdělují rovinu?
Řešení. Jak bylo ukázáno (spočteno) na cvičení, výsledek je
n + 1
2
+ 1.
Příklad 3 (1 bod). Uveďte hodnotu determinantu obecné dvojrozměrné čtvercové
(tzn., že počet jejích sloupců se rovná počtu jejích řádků) reálné matice.
Řešení. Determinant matice (pro libovolná čísla p, q, r, s  R)
p q
r s
je
p  s - q  r.
Příklad 4 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu dvojrozměrné matice (jiný
způsob výpočtu nebude uznán), určete obsah trojúhelníku vymezeného jeho vrcholy [-8, 1],
[-2, 0], [5, 9].
Řešení. Výsledek je
61
2
.
Příklad 5 (3 body). Rozhodněte, zda je níže uvedená relace R na množině Z (tj.
R  Z × Z) ekvivalencí. Pokud ano, tato ekvivalence určuje rozklad množiny Z ­ uveďte
jej (nikoli pouze popište).
Nechť pro libovolná čísla a, b  Z platí
[a, b]  R  2 | a - b,
tj. a, b jsou spolu v relaci právě tehdy, když mají stejný zbytek po dělení 2.
Je relace R uspořádání? Pokud ano, jedná se o úplné uspořádání?
Řešení. Lehce se ověří, že se jedná o relaci ekvivalence, která nemůže být uspořádáním,
neboť je různá od tzv. identické relace, zvané někdy relace rovnosti (viz cvičení). Uvedeným
rozkladem jsou dvě množiny tvořené v případě té první všemi sudými (v případě druhé
pak lichými) celými čísly.
Příklad 6 (2 body). Nechť je M = {a, b}. Vypište všechny relace na M, které nejsou
antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní?
Řešení. Hledané relace, které nejsou antisymetrické jsou čtyři. Jsou to právě ty pod-
množiny {a, b} × {a, b}, které obsahují prvky [a, b], [b, a]. Z těchto čtyř je tranzitivní pouze
jediná relace
{[a, a], [b, b], [a, b], [b, a]} = M × M.
Příklad 7 (2 body). Uveďte příklad nekonečné uspořádané množiny (X, ), která
neobsahuje žádné různé srovnatelné prvky.
Uveďte příklad tříprvkové uspořádané množiny (Y, ) a její dvouprvkové podmnožiny,
která má infimum, ale nemá supremum.
Řešení. Nechť je např. X = Z. Potom nutně pro libovolná a, b  Z je a  b jen a jen
tehdy, když je a = b (tzv. identická relace je uspořádání, jak zaznělo na cvičení).
Pro Y = {a, b, c} můžeme zavést hledané uspořádání např. úplným výčtem všech vztahů
(všech dvojic prvků, jenž jsou v relaci) takto
a a, b b, c c, a b, a c.
Lehce se nahlédne, že se skutečně jedná o uspořádání. Hledanou dvouprvkovou podmno-
žinou Y je potom množina {b, c}, která supremum v Y nemá, ale infimum ano ­ je jím
prvek a.
Příklad 8 (1 bod). Co znamená, že relace R na množině X není ekvivalencí? Dále
uveďte libovolný příklad nějaké množiny a relace na této množině, která není ekvivalencí.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 23 (Příklad 26, (c)).