Druhý zápočtový test ­ E Příklad 1 (2 body). Napište obecné rovnice s celočíselnými koeficienty těchto tří pří- mek. Té (značme ji p), která prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x - 3y + 2 = 0, přímky q procházející body [1, 3] a [-2, 1] a přímky r : x = 1 - t, y = 3 + 2t, t R. Řešení. Hledané rovnice přímek jsou po řadě x - 3y + 7 = 0, 2x - 3y + 7 = 0 a 2x + y - 5 = 0. Příklad 2 (2 body). Na nejvýše kolik částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, Příklad 22, str. 19. Výsledek je 2 + n (n - 1). Příklad 3 (1 bod). Vypočítejte odchylku přímek p : x = 1 + t, y = 2 + 3t, t R, q : 2x + y - 1 = 0. Řešení. Výsledek je 4 , raději než 45o . Příklad 4 (1 bod). Uveďte příklad zobrazení F : R2 R2 , které je lineární, a příklad zobrazení G : R2 R2 , jenž lineární není. (Daná zobrazení musí být zadána formálně správně.) Řešení. Příkladem lineárního zobrazení F je identita: u u, u R2 . Velmi jednoduchým příkladem hledaného zobrazení G je potom zobrazení: u a, u R2 , kde a R2 je nenulové (alespoň v jedné složce) a neměnné (tj. konstantní). Příklad 5 (2 body). Nechť je na množině R × R definována relace R (R × R) × × (R × R) vztahem [[a, b] , [c, d]] R a - c = 0. Zjistěte, zda se jedná o relaci ekvivalence (dokažte to, nebo vyvraťte). Pokud se jedná o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Řešení. Lehce se ověří, že se jedná o relaci ekvivalence, jíž příslušný rozklad rozdělí rovinu na přímky rovnoběžné s druhou osou (tj. osou y) ­ se stejnou první souřadnicí. (Dva body v rovině jsou v relaci, pokud přímka jimi zadaná je kolmá na osu x.) Příklad 6 (2 body). Určete, kolik různých rozkladů lze utvořit na množině M, jestliže je: a) M = {1, 2}; b) M = {1, 2, 3}; c) M = {1, 2, 3, 4}. Řešení. V prvním případě zřejmě existují pouze dva rozklady (tj. pouze 2 různé relace ekvivalence), ve druhém 5 a ve třetím případu (pro čtyřprvkovou množinu) potom 15 rozkladů. (Viz také tzv. Bellova čísla.) Příklad 7 (1 bod). Nechť jsou dány nějaké relace uspořádání R a S na jisté množi- ně X. Je relace R S také uspořádání? Řešení. Ano, je. Zaznělo na cvičení (včetně krátkého objasnění). Příklad 8 (2 body). Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny 2A , , je- -li: a) A = {a}; b) A = {b, c}; c) A = {d, e, f}. Řešení. Vyplývá z Příkladu 22 uvedeného na demonstrativním cvičení. Příklad 9 (2 body). Nechť je na množině přirozených čísel N definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neexistuje-li přirozené číslo různé od 1, které v oboru přirozených čísel obě čísla dělí, tj. neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo, což nastane jen a jen tehdy, když neexistuje prvočíslo, které vynásobené dvěma (ne nutně různými) přirozenými čísly dá v prvním případě hodnotu prvního čísla, ve druhém pak druhého). Rozhodněte, zda je tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, resp. tranzitivní. Své odpovědi musíte zdůvodnit! Řešení. Uvážíme-li dvojici stejných čísel [n, n] / R pro n 2, (1) je evidentní, že se nejedná o reflexivní relaci. Být ,,soudělný" nebo ,,nesoudělný" pro dvojici přirozených čísel je zřejmě vlastností neuspořádané dvojice ­ nezávislé na uvedení pořadí těchto dvou čísel, a proto je relace R symetrická. Z toho, že relace R je symetrická, plyne, že nemůže být antisymetrická, neboť zřejmě existují s, t N, s = t s vlastností [s, t] R. Jak právě zaznělo, není obtížné najít dvě čísla, která jsou spolu v relaci R. Lze např. (jakkoli) zvolit dvě různá prvočísla. Protože [p, p] / R pro libovolné prvočíslo p (viz (1)), ale zároveň je R symetrickou (viz výše), není tato relace tranzitivní.