Druhý zápočtový test ­ F
Příklad 1 (1 bod). Napište parametrické vyjádření přímky p, je-li:
a) p souřadnicovou osou y;
b) p : x - 3 = 0.
Řešení. Hledané rovnice přímek jsou po řadě (přičemž t  R)
x = 0, y = t;
x = 3, y = t.
Příklad 2 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu matice určete obsah rovno-
běžníku ABCD v rovině, jestliže znáte (tři) jeho vrcholy
A = [2, 1], B = [1, 3], C = [-2, -1].
Řešení. Výsledek je
10.
Příklad 3 (1 bod). V rovině určete všechny vektory kolmé k vektorům
(1, -1), (-1, 1), (1, 1)
zároveň. Kolmé ke každému vektoru z této trojice.
Řešení. První a třetí vektor jsou na sebe kolmé, z čehož plyne jejich lineární nezávislost.
Generují tedy podprostor R2
dimenze 2 (tj. celé R2
). Proto hledaný vektor existuje pouze
jediný ­ nulový
(0, 0).
Příklad 4 (1 bod). Uveďte příklad zobrazení z R2
do R2
, které není lineární, a do-
kažte o něm, že není lineární.
Řešení. Takové zobrazení je např. zadáno konstantním přiřazením
u  (0, 1), u  R2
.
Neboť je vektor (0, 1) různý od nulového, nemůže být toto zobrazení lineární: nezobrazuje
nulový vektor na triviální podprostor R2
(tj. nepřiřazuje mu nulový vektor).
Příklad 5 (3 body). Nechť je na množině R definována relace R  R×R pro libovol-
ná a, b  R vztahem
[a, b]  R  existuje c  R, c  1 tak, že c  b = a.
Zjistěte, zda se jedná o relaci ekvivalence (dokažte to, nebo vyvraťte). Pokud se skutečně
jedná o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Případně rozhodněte
(a odůvodněte své rozhodnutí ­ tj. dokažte to, nebo uveďte protipříklad), zda se jedná
o relaci uspořádání.
Řešení. Lehce se vidí, že daná relace není symetrická ­ nemůže tedy být relací ekviva-
lence.
Jedná se však o relaci uspořádání, jak lze snadno dokázat.
Příklad 6 (2 body). Dokažte, že průnik libovolného počtu relací ekvivalence na ně-
jaké množině M je opět relace ekvivalence na M. Pokud tvrdíte, že to neplatí, musíte to
zdůvodnit.
Řešení. Tvrzení samozřejmě platí. Jeho platnost byla zdůvodněna na cvičení.
Příklad 7 (2 body). Definujte nějakou relaci ekvivalence a poté nějakou relaci uspo-
řádání na množině všech přímek v rovině.
Řešení. Zavedeme-li relaci tak, aby dvě přímky byly v relaci právě tehdy, když jsou
shodné, dostaneme ,,velmi přirozenou" relaci ekvivalence, která je zároveň relací uspořá-
dání. Předchozí (pro libovolnou množinu) zaznělo na cvičení.
Příklad 8 (2 body). Vypište ­ můžete i zakreslit ­ všechna zobrazení množiny {1, 2}
do množiny {, , }. Kolik jich je? Dále uveďte, která z nich jsou injektivní, která surjek-
tivní a která bijektivní.
Řešení. Celkem existuje 9 zobrazení. Z toho je 6 injektivních. Zřejmě žádné není surjek-
tivní, a proto ani žádné nemůže být bijektivní.
Příklad 9 (1 bod). Uveďte, jaký je rozdíl mezi formulacemi:
a) ,,dané zobrazení je zobrazením množiny X do množiny Y ";
b) ,,dané zobrazení je zobrazením množiny X na množinu Y ".
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 21.