Druhý zápočtový test - A
Příklad 1 (2 body). Rozhodněte, zda je níže zavedená relace R na množině celých čísel Z (tedy R C Z x Z) tranzitivní. (Dokažte, že ano. Jinak uveďte protipříklad.) Nechť je definováno
a)
[a, b] E R   -<=>-   | a | < \b\,
b)
[a, b] G R  -<=>-   a | 26.
Příklad 2 (1 bod). Napište všechny dvojice rovnic, které určují stejnou přímku, z následujících: 2x + 3y — 4 = 0; x — y + 3 = 0; — 2x + 2y = —6; — x — \y + 2 = 0; — hx— \y = —2; x = 6t,y = 5í, t E R.
Příklad 3 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu dvojrozměrné matice (jiný způsob výpočtu nebude uznán), určete obsah čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [0, —2],
[1,-1], [-1,1] a [1,5].
Příklad 4 (2 body). Najděte konvexní obal bodů [-1,1], [3,-5], [1,7], [0,4], [0,2], [0, 0], [—1, 0], [—1, —4], [2, —4] a [0, —4]. Výpočtem determinantů (nikoli jinak) poté určete, které hrany vzniklého mnohoúhelníku jsou viditelné z pozice bodu [—100 000, 0]. (Nemusíte vše vyčíslovat; pouze odhadnout, zda je výraz kladný, či záporný.)
Příklad 5 (2 body). Udejte příklad dvou nenulových 2x2 matic A, B (tj. matice A, B mají mít právě dva řádky a dva sloupce) takových, aby jejich součinem (v uvedeném pořadí) byla nulová matice.
Zároveň udejte příklad takové 2x2 matice C, aby jejím součinem (lhostejno zleva, či zprava) s nulovou 2x2 maticí byla nenulová matice.
Příklad 6 (1 bod). Napište nějakou relaci R na množině N, která je symetrická, ale není reflexivní.
Příklad 7 (1 bod). Nechť je dáno zobrazení / : A —► B (potažmo jsou tak zároveň dány množiny A,B). Uveďte definici grafu zobrazení /. (Zobrazení je zvláštní případ relace.)
Příklad 8 (2 body). Na množině X = {1, 2, 3, 4, 5} je dán rozklad
TZ = {{2,3}, {1,4,5}},
tj. je dán rozklad množiny X, který má dvě třídy, ato{2,3}a{l,4,5}.
Určete relaci ekvivalence R (můžeme ji též značit jako ~) na množině X příslušnou rozkladu TZ.
Příklad 9 (1 bod). Uveďte příklad množiny A takové, aby uspořádaní C na množině všech podmnožin množiny A bylo úplné. (Dokažte, že je úplné. Pokud taková množina neexistuje, objasněte proč.)
Příklad 10 (1 bod). Uveďte kolik lze definovat různých relací mezi množinami M a 2M, jestliže je řád množiny M roven 3 (tedy má-li množina M tři prvky).
Druhý zápočtový test - B
Příklad 1 (3 body). Stanovte výměru (rozlohu ve smyslu obsahu) pozemku, jenž je na pozemkové mapě ohraničen body o kótách [—7,1], [—1,0], [24,2], [25,1], [29,0] a [17,5]. (Jednotky nás nezajímají. Jsou určeny poměrem pozemkové mapy vůči skutečnosti: výsledek je očekáván vzhledem ke kvadratickým jednotkám pozemkové mapy.)
Příklad 2 (1 bod). Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p : 2x — y + 1 = 0, q : 3x + 2 = 0. Jedná-li se o různoběžky, najděte jejich průsečík.
Příklad 3 (1 bod). Uveďte příklad nějaké matice, která má právě dva řádky a dva sloupce (je čtvercově dvojrozměrná) a která má determinant roven \fh.
Příklad 4 (2 body). Určete, které hrany čtyřúhelníku zadaného vrcholy [—2,-2], [3, 3], [1,4] a [2,1] jsou viditelné z pozice bodu [3, tt — 2]. Určit je musíte za pomoci výpočtu, nikoli obrázku!
Příklad 5 (1 bod). Uveďte příklad množiny A, pro kterou platí, že A E 2A a zároveň že A C 2A.
Příklad 6 (2 body). Nechť R a. S jsou relace na množině X. Dokažte, že pokud jsou obě tyto relace symetrické, nemusí být relace So R symetrická. (Dodejme, že jejich průnik i sjednocení je symetrickou relací, jak víme ze cvičení - to není potřeba dokazovat.)
Příklad 7 (2 body). Na množině M = {1, 2, 3,..., 18,19, 20} je definována relace ~ pro všechna a, b E M takto
a ~ b   <í=^   první číslice čísel a, b jsou stejné.
Tudíž, např. je 1 ~ 17, 14 ~ 19, 2 ~ 20. Dokažte, že relace ~ je ekvivalence a sestrojte rozklad příslušný ekvivalenci ~.
Příklad 8 (2 body). Uveďte příklad zobrazení / : X —► X, které je injektivní, ale není surjektivní; a příklad zobrazení g : X —► X, které je surjektivní, ale není injektivní.
Příklad 9 (1 bod). Udejte příklad rozkladu na IR (na množině reálných čísel), který má konečně mnoho tříd, přičemž každá třída obsahuje konečně mnoho prvků.
Druhý zápočtový test - C
Příklad 1 (2 body). Rozhodněte, zda jsou zobrazení definovaná na E2  = E x E s obory hodnot v E x E značená
F ([a, b]) := [a+1,6-1]
a
G ([a, b]) := [6 a — 5 b, b — a]
lineárni.
Uvědomte si, že na E x E můžeme nahlížet jako na vektorový prostor a na uspořádané dvojice (nikoli body) značené [a, b], kde a, b G E, jako na vektory
(Ô-
Příklad 2 (3 body). Nechť je na množině M = {a, b, c, d} dána relace R. Rozhodněte, zda je R relací uspořádání (pak nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (M, R) a na jeho základě řekněte, jestli se jedná o úplné uspořádání), nebo relací ekvivalence, je-li:
(i) R= {[a,a], [b,b], [c,c], [d,d], [b,a], [b,c], [b,d]};
(ii) R= {[a,a],[b,b],[c,c],[d,d],[d,a],[b,c]}.
Příklad 3 (1 bod). Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 — t, y = 1 + 3í, t G E.
Příklad 4 (2 body). Určete, které hrany pětiúhelníku zadaného vrcholy [—2,-2], [—2, 2], [1, 4], [3,1] a [2, —^] jsou viditelné z pozice bodu [300,1]. Určit je musíte za pomoci výpočtu, nikoli obrázku! V případě jedné z hran můžete pouze podmínit její viditelnost splněním jisté nerovnosti (neuvést, zda tato nerovnost platí, či nikoliv - ale pouze říci, co by znamenalo, kdyby platila).
Příklad 5 (1 bod). Dokažte, že relace dělitelnosti na množině N (přirozených čísel) je antisynietrická, zatímco relace dělitelnosti na množině Z (celých čísel), Q (racionálních čísel) a E (reálných čísel) není antisymetrická.
Příklad 6 (2 body). Rozhodněte, zda dané zobrazení /je injektivní, resp. surjektivní, jestliže
a)
f:ZxZ^Z,      f((x,y)) =x + y-10-x2;
b)
/:N^MxN,      f(x) = (2x,2x + x2 + 10).
Svá tvrzení odůvodněte.
Příklad 7 (2 body). Zjistěte, zda je tvrzení
a = b   -<=>-   sup {a,b} = inf {a, b}
pravdivé pro libovolnou uspořádanou množinu (A, <) a libovolné prvky a, b E A. (Uveďte důkaz, nebo protipříklad.)
Příklad 8(1 bod). Za pomoci rekurentní formule
Bn+l = Y.(t)Bk,     B0 = l                                 (1)
fc=0   ^    '
jsou pro všechna n E N U {0} zavedena tzv. Bellova čísla. Ze vzorce (1) bezprostředně dostáváme
B0 = 1,    Bx = 1,    B2 = 2,    B3 = 5,    B4 = 15,    B5 = 52,    B6 = 203, ...
Tato čísla (myšlena Bellova) na n-prvkové množině NEUDÁVAJÍ:
(a)        počet všech rozkladů, jenž je roven počtu všech ekvivalencí;
(b)        počet všech reflexivních, symetrických a tranzitivní relací,
které nejsou antisymetrické, zvýšený o 1;
(c)        počet všech reflexivních, symetrických a tranzitivní relací,
které nejsou antisymetrické.
Napište „a", „b", nebo „c".
Příklad 9 (1 bod). Nechť je dána uspořádaná množina (A, <) a neprázdná podmnožina B množiny A. Definujte supremum a infimum množiny B v množině A. (Uveďte definici nezaloženou na pomocných pojmech.)
Druhý zápočtový test - D
Příklad 1 (2 body). Uveďte matici, která reprezentuje zrcadlení vzhledem k přímce se směrovým vektorem svírajícím úhel (f> s vektorem e\ := (1, 0).
Příklad 2 (2 body). V rovině ja dáno n G N přímek tak, že žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři nemají společný bod. Na kolik částí rozdělují rovinu?
Příklad 3 (1 bod). Uveďte hodnotu determinantu obecné dvojrozměrné čtvercové (tzn., že počet jejích sloupců se rovná počtu jejích řádků) reálné matice.
Příklad 4 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu dvojrozměrné matice (jiný způsob výpočtu nebude uznán), určete obsah trojúhelníku vymezeného jeho vrcholy [—8,1], [-2,0], [5,9].
Příklad 5 (3 body). Rozhodněte, zda je níže uvedená relace R na množině Z (tj. i? C Z x Z) ekvivalencí. Pokud ano, tato ekvivalence určuje rozklad množiny Z - uveďte jej (nikoli pouze popište).
Nechť pro libovolná čísla a, b C Z platí
[a, b] E R   -<=>-   2 | a - b,
tj. a, b jsou spolu v relaci právě tehdy, když mají stejný zbytek po dělení 2. Je relace R uspořádání? Pokud ano, jedná se o úplné uspořádání?
Příklad 6 (2 body). Nechť je M = {a, b}. Vypište všechny relace na M, které nejsou antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní?
Příklad 7 (2 body). Uveďte příklad nekonečné uspořádané množiny (X, <), která neobsahuje žádné různé srovnatelné prvky.
Uveďte příklad tříprvkové uspořádané množiny (Y, ^) a její dvouprvkové podmnožiny, která má infimum, ale nemá supremum.
Příklad 8(1 bod). Co znamená, že relace R na množině X není ekvivalencí? Dále uveďte libovolný příklad nějaké množiny a relace na této množině, která není ekvivalencí.
Druhý zápočtový test - E
Příklad 1 (2 body). Napište obecné rovnice s celočíselnými koeficienty těchto tří přímek. Té (značme ji p), která prochází bodem [2,3] a je rovnoběžná s přímkou
x - 3y + 2 = 0,
přímky q procházející body [1,3] a [—2,1] a přímky r : x = 1 — t, y = 3 + 2í, t E E.
Příklad 2 (2 body). Na nejvýše kolik částí dělí rovinu n kružnic?
Příklad 3(1 bod). Vypočítejte odchylku přímek
p: x = 1+t, y = 2 + 3ŕ,   ŕ e E, q : 2x + y — 1 = 0.
Příklad 4 (1 bod). Uveďte příklad zobrazení F : M? —► IR2, které je lineární, a příklad zobrazení G : IR2 —► IR2, jenž lineární není. (Daná zobrazení musí být zadána formálně správně.)
Příklad 5 (2 body). Nechť je na množině E x E definována relace R C (E x E) x x (E x E) vztahem
[[a, b] , [c, d]] E R   <í=^   a — c = 0.
Zjistěte, zda se jedná o relaci ekvivalence (dokažte to, nebo vyvraťte). Pokud se jedná o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje.
Příklad 6 (2 body). Určete, kolik různých rozkladů lze utvořit na množině M, jestliže je:
a)   M = {1,2};
b)   M = {1,2,3};
c)   M = {1,2,3,4}.
Příklad 7 (1 bod). Nechť jsou dány nějaké relace uspořádání R a S na jisté množině X. Je relace RC\ S také uspořádání?
Příklad 8 (2 body). Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny (2A, c), je--li:
a)  A = {a};
b)  A = {b,c}-
c)  A = {d,e,f}.
Příklad 9 (2 body). Nechť je na množině přirozených čísel N definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neexistuje-li přirozené číslo různé od 1, které v oboru přirozených čísel obě čísla dělí, tj. neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo, což nastane jen a jen tehdy, když neexistuje prvočíslo, které vynásobené dvěma (ne nutně různými) přirozenými čísly dá v prvním případě hodnotu prvního čísla, ve druhém pak druhého).
Rozhodněte, zda je tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, resp. tranzitivní. Své odpovědi musíte zdůvodnit!
Druhý zápočtový test - F
Příklad 1 (1 bod). Napište parametrické vyjádření přímky p, je-li:
a)  p souřadnicovou osou y;
b)  p : x — 3 = 0.
Příklad 2 (2 body). Za pomoci výpočtu determinantu matice určete obsah rovnoběžníku AB C D v rovině, jestliže znáte (tři) jeho vrcholy
A =[2,1],    B = [1,3],    C =[-2,-1].
Příklad 3(1 bod). V rovině určete všechny vektory kolmé k vektorům
(1,-1),    (-1,1),    (1,1) zároveň. Kolmé ke každému vektoru z této trojice.
Příklad 4 (1 bod). Uveďte příklad zobrazení z IR2 do IR2, které není lineární, a dokažte o něm, že není lineární.
Příklad 5 (3 body). Nechť je na množině IR definována relace i? C IR x IR pro libovolná a, b E IR vztahem
[a, b] E R -<=>- existuje c E E, c > 1 tak, že c • b = a.
Zjistěte, zda se jedná o relaci ekvivalence (dokažte to, nebo vyvraťte). Pokud se skutečně jedná o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Případně rozhodněte (a odůvodněte své rozhodnutí - tj. dokažte to, nebo uveďte protipříklad), zda se jedná o relaci uspořádání.
Příklad 6 (2 body). Dokažte, že průnik libovolného počtu relací ekvivalence na nějaké množině M je opět relace ekvivalence na M. Pokud tvrdíte, že to neplatí, musíte to zdůvodnit.
Příklad 7 (2 body). Definujte nějakou relaci ekvivalence a poté nějakou relaci uspořádání na množině všech přímek v rovině.
Příklad 8 (2 body). Vypište - můžete i zakreslit - všechna zobrazení množiny {1,2} do množiny {rj, i9, £}. Kolik jich je? Dále uveďte, která z nich jsou injektivní, která surjek-tivní a která bijektivní.
Příklad 9 (1 bod). Uveďte, jaký je rozdíl mezi formulacemi:
a)   „dané zobrazení je zobrazením množiny X do množiny Y";
b)   „dané zobrazení je zobrazením množiny X na množinu Y".