Opravný zápočtový test ­ A
Příklad 1 (5 bodů). Kolika způsoby lze rozmístit 20 různých knížek do malé knihovny,
která má 5 polic, jestliže se do každé police vejde právě 20 knížek?
Řešení. Výsledek je
24!
4!
.
Příklad 2 (5 bodů). Dvě lodi mají doplout do přístaviště v daný den od 12.00 do
15.00, a to se stejnou šancí v každém okamžiku těchto 3 hodin. Obě se zdrží v přístavišti
1 hodinu a nemohou vykládat náklad současně. Jaká je pravděpodobnost, že posádka jedné
lodi bude muset čekat, než druhá loď opustí přístaviště?
Řešení. Výsledek je
5
9
.
Příklad 3 (5 bodů). Padesátkrát po sobě hodíme třemi mincemi. Jaká je pravděpo-
dobnost, že alespoň v jednom z těchto 50 hodů padnou 3 líce?
Řešení. Výsledek je
1 -
7
8
50
.
Příklad 4 (5 bodů). Uveďte 2 × 2 matici, která reprezentuje lineární zobrazení, jímž
je rotace roviny kolem počátku o předem daný úhel , vzhledem ke standardním bázím.
Řešení. Výsledek je
R =
cos  - sin 
sin  cos 
.
Příklad 5 (5 bodů). Co to znamená, když o nějakém uspořádání na množině A
řekneme, že je úplné?
Řešení. Každé 2 prvky množiny A jsou porovnatelné (srovnatelné), tj. pro všechna
a, b  A platí
a b
nebo
b a.
Příklad 6 (5 bodů). Na množině X = {, , , , } je zadán rozklad
X = {{}, { }, {}, {, }}.
Tento rozklad je jednoznačně určen jistou relací ekvivalence E na X. Uveďte tuto relaci
ekvivalence E. (Uvědomte si, že každá relace ekvivalence je množina uspořádaných dvojic.
V takové podobě ji musíte uvést.)
Řešení. Výsledek je
E = {[, ] , [ , ] , [, ] , [, ] , [, ] , [, ] , [, ]}.
Příklad 7 (5 bodů). Vypočítejte součin matic A  B  C, jestliže je
A =


3 -1 0 1
3 0 1 2
0 0 0 1

 , B =




0 1 0 -2
0 1 1 -1
0 0 0 0
0 1 -4 0



 ,
C =




1 0 -3 1
0 0 2 -2
2 -2 0 0
0 0 3 1
6



 .
Řešení. Výsledek je
A  B  C =


-10 10 -9 -6 5
6
-16 16 -8 -11
-8 8 2 -2

 .
Příklad 8 (5 bodů). Nechť je dána matice
A =


3 1 1 4
2 3 5 6
4 0 0 6

 .
Určete dim Ker A.
Řešení. Výsledek je
dim Ker A = 1.
Příklad 9 (5 bodů). Nechť je opět dána matice
A =


3 1 1 4
2 3 5 6
4 0 0 6

 .
Uveďte nějakou bázi Ker A.
Řešení. Neboť je dim Ker A = 1. Báze obsahuje jediný vektor. Jedná se o nějaký
nenulový skalární násobek vektoru 



6
-11
9
-4



 .
Příklad 10 (5 bodů). Popište (např. nějakou bází) ortogonální komplement pod-
prostoru V prostoru R4
se standardním skalárním součinem, je-li V generován vektory
(-1, 2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2, 3, -2, 5).
Řešení. Ortogonální doplněk (komplement) V je množina všech skalárních násobků
vektoru
(4, 2, 7, 0) .
Příklad 11 (5 bodů). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R3
nalezněte ortogo-
nální projekci vektoru (3, -7, 8) do roviny určené vektory (1, 1, -2), (3, 1, -1).
Řešení. Výsledek je
34
15
, -
10
3
,
142
15
.
Příklad 12 (5 bodů). Uveďte příklad takové reálné matice 3 × 3, která má všechny
své prvky kladné (tj. je zadaná devíti čísly a všechna tato čísla jsou kladná), je pozitivně
definitní a zároveň není symetrická. Pokud taková matice neexistuje, napište stručně, z čeho
to plyne.
Řešení. Samozřejmě, že existuje. Takovou maticí je např.


5 1 1
1 5 2
1 1 5

 .