Opravný zápočtový test ­ B
Příklad 1 (5 bodů). Určete, kolika způsoby lze rozdělit 8 žen a 4 muže do 2 šestičlen-
ných skupin (v nichž nerozlišujeme pořadí ­ jsou neuspořádané) tak, aby v každé skupině
byl alespoň 1 muž.
Řešení. Výsledek je
1
2

4
2

8
4
+ 4 
8
5
= 434 =
1
2

12
6
-
8
2
.
Příklad 2 (5 bodů). V písemce je 10 otázek a u každé se má vybrat jedna ze tří
variant odpovědi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň polovina odpovědí bude správná,
vybíráme-li je zcela náhodně? Výsledek nemusíte vyčíslit.
Řešení. Výsledek je
1 -
4
k=0
10
k

1
3
k

2
3
10-k
.
Příklad 3 (5 bodů). Máme 6 uren. V první jsou 2 bílé kuličky a 1 černá, ve druhé
a ve třetí jsou 3 bílé a 2 černé, ve čtvrté, páté a šesté jsou 2 bílé a 3 černé. Náhodně zvolíme
urnu a z ní vybereme kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá?
Řešení. Výsledek je
1
6

2
3
+
2
6

3
5
+
3
6

2
5
=
23
45
.
Příklad 4 (5 bodů). Určete odchylku přímek
2x + y - 5 = 0 a 6x - 2y = -7.
Řešení. Výsledek je

4
.
Příklad 5 (5 bodů). Vypočítejte obsah čtyřúhelníku (v rovině) s vrcholy [1, 1], [6, 1],
[11, 4], [2, 4].
Řešení. Výsledek je
21.
Příklad 6 (5 bodů). Nechť je dána n-prvková konečná a zároveň neprázdná množi-
na M. Určete, kolik celkem existuje reflexivních relací na M.
Řešení. Výsledek je
2n(n-1)
.
Příklad 7 (5 bodů). Vektory
(1, 2, 1), (-1, 1, 0), (0, 1, 1)
jsou lineárně nezávislé, a proto z nich lze sestavit bázi R3
. Každý trojrozměrný vektor je
tedy nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1)?
(Tj. vyjádřete vektor (1, 1, 1) ve tvaru součtu nějakých skalárních násobků zadaných vek-
torů.)
Řešení. Výsledek je
(1, 1, 1) =
1
2
 (1, 2, 1) -
1
2
 (-1, 1, 0) +
1
2
 (0, 1, 1).
Příklad 8 (5 bodů). Stanovte hodnost matice
R =




0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3



 .
Řešení. Výsledek je
h(R) = 2.
Příklad 9 (5 bodů). Vypočítejte
1 2 0 -5
1 3 -1 0
-1 2 0 2
2 0 -1 1
.
Řešení. Výsledek je
9.
Příklad 10 (5 bodů). Lineární zobrazení  : R3
 R3
je pro libovolná x1, x2, x3  R
určeno předpisem
((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 - 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace  v bázi  určené po řadě vektory
u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, -1).
Máte tedy uvést matici, která přísluší danému lineárnímu zobrazení vzhledem k bázím 
(vzhledem ke stejné bázi obou prostorů: oba jsou R3
).
Řešení. Výsledek je 

2 2 -1
1 -1 0
4 3 0

 .
Příklad 11 (5 bodů). Nechť je ve vektorovém prostoru P2 pro libovolné dva reálné
polynomy stupně nejvýše 2
p = a2(p)  x2
+ a1(p)  x + a0(p), q = a2(q)  x2
+ a1(q)  x + a0(q)
definován jejich skalární součin vztahem
p  q := a2(p)  a2(q) + a1(p)  a1(q) + a0(p)  a0(q).
V tomto vektorovém prostoru se skalárním součinem určete délku (velikost, normu)
vektoru x2
+ 2x.
Řešení. Výsledek je 
5.
Příklad 12 (5 bodů). Nalezněte všechna vlastní čísla matice


2 1 1
-1 2 -1
1 -1 2

 .
Řešení. Výsledek je
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3.