Opravný zápočtový test ­ A Příklad 1 (5 bodů). Kolika způsoby lze rozmístit 20 různých knížek do malé knihovny, která má 5 polic, jestliže se do každé police vejde právě 20 knížek? Příklad 2 (5 bodů). Dvě lodi mají doplout do přístaviště v daný den od 12.00 do 15.00, a to se stejnou šancí v každém okamžiku těchto 3 hodin. Obě se zdrží v přístavišti 1 hodinu a nemohou vykládat náklad současně. Jaká je pravděpodobnost, že posádka jedné lodi bude muset čekat, než druhá loď opustí přístaviště? Příklad 3 (5 bodů). Padesátkrát po sobě hodíme třemi mincemi. Jaká je pravděpo- dobnost, že alespoň v jednom z těchto 50 hodů padnou 3 líce? Příklad 4 (5 bodů). Uveďte 2 × 2 matici, která reprezentuje lineární zobrazení, jímž je rotace roviny kolem počátku o předem daný úhel , vzhledem ke standardním bázím. Příklad 5 (5 bodů). Co to znamená, když o nějakém uspořádání na množině A řekneme, že je úplné? Příklad 6 (5 bodů). Na množině X = {, , , , } je zadán rozklad X = {{}, { }, {}, {, }}. Tento rozklad je jednoznačně určen jistou relací ekvivalence E na X. Uveďte tuto relaci ekvivalence E. (Uvědomte si, že každá relace ekvivalence je množina uspořádaných dvojic. V takové podobě ji musíte uvést.) Příklad 7 (5 bodů). Vypočítejte součin matic A B C, jestliže je A = 3 -1 0 1 3 0 1 2 0 0 0 1 , B = 0 1 0 -2 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 1 -4 0 , C = 1 0 -3 1 0 0 2 -2 2 -2 0 0 0 0 3 1 6 . Příklad 8 (5 bodů). Nechť je dána matice A = 3 1 1 4 2 3 5 6 4 0 0 6 . Určete dim Ker A. Příklad 9 (5 bodů). Nechť je opět dána matice A = 3 1 1 4 2 3 5 6 4 0 0 6 . Uveďte nějakou bázi Ker A. Příklad 10 (5 bodů). Popište (např. nějakou bází) ortogonální komplement pod- prostoru V prostoru R4 se standardním skalárním součinem, je-li V generován vektory (-1, 2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2, 3, -2, 5). Příklad 11 (5 bodů). V euklidovském (Euklidovském) prostoru R3 nalezněte ortogo- nální projekci vektoru (3, -7, 8) do roviny určené vektory (1, 1, -2), (3, 1, -1). Příklad 12 (5 bodů). Uveďte příklad takové reálné matice 3 × 3, která má všechny své prvky kladné (tj. je zadaná devíti čísly a všechna tato čísla jsou kladná), je pozitivně definitní a zároveň není symetrická. Pokud taková matice neexistuje, napište stručně, z čeho to plyne. Opravný zápočtový test ­ B Příklad 1 (5 bodů). Určete, kolika způsoby lze rozdělit 8 žen a 4 muže do 2 šestičlen- ných skupin (v nichž nerozlišujeme pořadí ­ jsou neuspořádané) tak, aby v každé skupině byl alespoň 1 muž. Příklad 2 (5 bodů). V písemce je 10 otázek a u každé se má vybrat jedna ze tří variant odpovědi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň polovina odpovědí bude správná, vybíráme-li je zcela náhodně? Výsledek nemusíte vyčíslit. Příklad 3 (5 bodů). Máme 6 uren. V první jsou 2 bílé kuličky a 1 černá, ve druhé a ve třetí jsou 3 bílé a 2 černé, ve čtvrté, páté a šesté jsou 2 bílé a 3 černé. Náhodně zvolíme urnu a z ní vybereme kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? Příklad 4 (5 bodů). Určete odchylku přímek 2x + y - 5 = 0 a 6x - 2y = -7. Příklad 5 (5 bodů). Vypočítejte obsah čtyřúhelníku (v rovině) s vrcholy [1, 1], [6, 1], [11, 4], [2, 4]. Příklad 6 (5 bodů). Nechť je dána n-prvková konečná a zároveň neprázdná množi- na M. Určete, kolik celkem existuje reflexivních relací na M. Příklad 7 (5 bodů). Vektory (1, 2, 1), (-1, 1, 0), (0, 1, 1) jsou lineárně nezávislé, a proto z nich lze sestavit bázi R3 . Každý trojrozměrný vektor je tedy nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1)? (Tj. vyjádřete vektor (1, 1, 1) ve tvaru součtu nějakých skalárních násobků zadaných vek- torů.) Příklad 8 (5 bodů). Stanovte hodnost matice R = 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 . Příklad 9 (5 bodů). Vypočítejte 1 2 0 -5 1 3 -1 0 -1 2 0 2 2 0 -1 1 . Příklad 10 (5 bodů). Lineární zobrazení : R3 R3 je pro libovolná x1, x2, x3 R určeno předpisem ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 - 3x2 + x3). Nalezněte matici lineární transformace v bázi určené po řadě vektory u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, -1). Máte tedy uvést matici, která přísluší danému lineárnímu zobrazení vzhledem k bázím (vzhledem ke stejné bázi obou prostorů: oba jsou R3 ). Příklad 11 (5 bodů). Nechť je ve vektorovém prostoru P2 pro libovolné dva reálné polynomy stupně nejvýše 2 p = a2(p) x2 + a1(p) x + a0(p), q = a2(q) x2 + a1(q) x + a0(q) definován jejich skalární součin vztahem p q := a2(p) a2(q) + a1(p) a1(q) + a0(p) a0(q). V tomto vektorovém prostoru se skalárním součinem určete délku (velikost, normu) vektoru x2 + 2x. Příklad 12 (5 bodů). Nalezněte všechna vlastní čísla matice 2 1 1 -1 2 -1 1 -1 2 .