První zápočtový test ­ A
Příklad 1 (1 bod). Sešlo se pět přátel a navzájem si potřásli rukama. Určete počet
potřesení.
Řešení. Výsledek je 5
2
= 54
2
= 10.
Příklad 2 (1 bod). Nechť je n > 3. Který z následujících vztahů
(a)
n
n - 1
=
n
2
, (b)
n
n - 1
<
n
2
, (c)
n
n - 1
>
n
2
platí? (Ten např. zatrhněte ­ musí být zjevně rozpoznatelné, co je odpovídáno!)
Řešení. Správná odpověď je za ,,b", tj. platí
n
n - 1
<
n
2
pro všechna n  4.
Příklad 3 (2 body). Určete kolika způsoby lze z 10 kosmonautů vybrat čtyřčlennou
posádku, není-li možné (z jistých důvodů), aby jistí dva kosmonauti letěli spolu.
Řešení. Výsledek je
10
4
-
8
2
= 182.
Obdržíme ho tak, že nejprve určíme počet všech možných výběrů a pak od něj odečteme
počet těch výběrů, kdy jsou členy posádky zmínění dva kosmonauti.
Příklad 4 (2 body). Ze sady 52 karet (26 červených a 26 černých) náhodně vyberme
polovinu. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme 13 červených a 13 černých karet?
Řešení. Úloha je řešitelná např. jako modelová úloha na hypergeometrické rozdělení
(viz skriptum doc. Hilschera). Výsledek je potom
26
13
 26
13
52
26
,
což po úpravě dává
(26!)4
52!  (13!)4 .
Příklad 5 (2 body). Z karetní hry o 32 kartách vytahujeme postupně šestkrát bez
vracení po jedné kartě. Jaká je pravděpodobnost, že eso bude taženo až v posledním tahu?
Řešení. Podle věty o násobení podmíněných pravděpodobností je výsledek
28
32

27
31

26
30

25
29

24
28

4
27
,
tj. 65
899
.
Příklad 6 (2 body). Máme 6 klobouků. V prvním klobouku jsou 2 bílé kuličky a 1 čer-
ná, ve druhém a ve třetím jsou 3 bílé a 2 černé, ve čtvrtém, pátém a šestém klobouku jsou
2 bílé a 3 černé. Náhodně vybereme klobouk a z něj potom náhodně vylosujeme kuličku.
Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá?
Řešení. Věta o celkové pravděpodobnosti (formule úplné pravděpodobnosti) dává
1
6

2
3
+
2
6

3
5
+
3
6

2
5
,
tedy výsledek 23
45
.
Příklad 7 (2 body). Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padla na
obou prvočísla, jestliže padl součet 8.
Řešení. Příklad je nejsnáze řešitelný jednoduchým výčtem možností (těch je 5, z čehož
2 výsledky jsou příznivé vyšetřovanému jevu). Výsledek je 0,4.
Příklad 8 (1 bod). Kolika způsoby lze na šachovnici (8 x 8 polí) postavit bílou a čer-
nou věž tak, aby se neohrožovaly (nebyly ve stejném řádku ani sloupci)?
Řešení. Nejprve umístíme např. bílou věž. Pro ni máme na výběr z 82
polí. Ve druhém
kroku umístíme věž černou: nyní máme ,,k dispozici" 72
polí. Podle kombinatorického pra-
vidla součinu je výsledek 82
 72
= 3136.
Příklad 9 (2 body). Nechť je zcela náhodně rozdělena tyč o délce m na tři části.
Určete pravděpodobnost, že její nejdelší část bude kratší než součet zbývajících dvou.
Řešení. Délka tyče nemá zjevně vliv na hodnotu hledané pravděpodobnosti. Tento pří-
klad je tedy přeformulováním ,,Příkladu 16" z minulého čtvrtečního demonstrativního cvi-
čení.