První zápočtový test ­ C
Příklad 1 (1 bod). Kolik slov lze vytvořit ze slova ,,automobilka" změnou pořadí
písmen? (Pochopitelně se nebere ohled na to, zda vzniklá slova mají jazykový smysl.)
Řešení. Výsledek je
11!
2!  2!
=
11!
4
.
Příklad 2 (1 bod). Které z čísel
(a)
m + n - 1
n - 1
, (b) mn
, (c)
m + n - 1
m - 1
udává, kolika způsoby lze rozmístit n nerozlišitelných předmětů do m rozlišitelných přihrá-
dek (pro obecná m, n  N)? Napište a, b, nebo c.
Řešení. Správná odpověď je ,,c", tedy
m + n - 1
m - 1
=
m + n - 1
n
.
Příklad 3 (2 body). Kolika způsoby lze rozdělit mezi tři osoby A, B a C 33 různých
mincí tak, aby osoby A a B měly dohromady dvakrát více mincí, než má osoba C.
Řešení. Výsledek je
33
11
 222
.
Příklad 4 (2 body). Z karetní hry o 108 kartách (2 x 52 + 4 žolíci) bez vracení
vybereme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso nebo žolík?
Řešení. Výsledek je
1 -
96
4
108
4
.
Příklad 5 (2 body). V jednom klobouku je 5 bílých a 2 černé kuličky, ve druhém
3 bílé a 7 černých. Náhodně zvolíme jeden klobouk a vytáhneme z něj kuličku. Určete
pravděpodobnost, že bude bílá.
Řešení. Výsledek podle věty o celkové pravděpodobnosti (formule úplné pravděpodob-
nosti; viz mj. skriptum doc. Hilschera, str. 10 nahoře) je
1
2

5
7
+
1
2

3
10
=
71
140
.
= 0, 507.
Příklad 6 (2 body). Z klobouku, v němž je 9 bílých a 1 černá kulička, namátkou
vytáhneme kuličku a vrátíme ji zpět. Kolikrát tento pokus musíme provést, aby pravděpo-
dobnost, že aspoň jednou vytáhneme černou kuličku, byla větší než 0,9?
Řešení. Upozorněme, že podobný příklad byl řešen na cvičení. Výsledkem tohoto pří-
kladu je, že daný pokus musíme provést alespoň dvaadvacetkrát.
Řešení, k němuž by pak měli dojít studenti, je stanovení (nikoli vyčíslení) hodnoty
 :=
loga 0, 1
loga 0, 9
, (1)
která určuje výsledek (hledaný počet opakování hry) tak, že jím je nejmenší přirozené číslo
větší než reálné číslo  zavedené v (1), kde a je libovolné reálné číslo větší než 1. (Povšim-
něme si, prosím, ,,bohaté matematické" mluvy.)
Příklad 7 (2 body). Řekněte, co znamená, že blíže neupřesněné jevy A, B, C, D jsou
stochasticky nezávislé? (Neuvádějte intuitivní vystižení podstaty, nýbrž definici!)
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 12, druhý odstavec.
Příklad 8 (2 body). Zvolme zcela náhodně dvě nezáporná reálná čísla ostře menší 1.
Jaká je pravděpodobnost, že součet jejich druhých mocnin je menší nebo roven 1?
Řešení. Výsledek je 
4
. (Viz skriptum doc. Hilschera, str. 13, Příklad 19.)
Příklad 9 (1 bod). Napište, čemu se rovná (n)k pro všechna n, k  N.
Řešení. Výběr bez opakování je zaveden jako
(n)k := n  (n - 1)  (n - 2)    (n - k + 1)
pro n  k a jako
(n)k := 0,
je-li n < k.