První zápočtový test ­ D
Příklad 1 (1 bod). Lze tipovat výsledky 15 zápasů ­ zda vyhrají domácí, hosté, či
skončí nerozhodně. Určete, kolik je všech možných tipů.
Řešení. Výsledek je
315
.
Příklad 2 (1 bod). Která z rovností
(a)
5
k=0
5
5 - k
= 16, (b)
5
k=0
k
5
k
= 32, (c)
5
k=1
5
k
= 31
platí? (Uveďte ji. Nelze však uvést více než jednu možnost.)
Řešení. Správná odpověď je ,,c", neboť (jak vyplývá ze cvičení)
5
k=0
5
5 - k
=
5
k=0
5
k
= 25
= 32 = 16,
5
k=0
k
5
k
= 5  25-1
= 80 = 32
a zároveň je
5
k=1
5
k
=
5
k=0
5
k
- 1 = 32 - 1 = 31.
Příklad 3 (2 body). Určete, kolika způsoby lze rozdělit 8 chlapců a 4 děvčata do dvou
šestičlenných skupin tak, aby v každé skupině byla alespoň jedna dívka.
Řešení. Lze tak učinit
1
2

4
2

8
4
+ 4 
8
5
= 434 =
1
2

12
6
-
8
2
způsoby.
Příklad 4 (2 body). V klobouku máme 8 bílých, 7 černých a 5 modrých kuliček.
Vybereme z něho náhodně bez vracení 3 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že právě dvě
budou bílé?
Řešení. Příklad je řešitelný využitím obecného řešení tzv. hypergeometrického rozdělení
(viz skriptum doc. Hilschera, str. 8). Výsledek je
8
2
 12
20
3
=
8
2
 7 + 8
2
 5
20
3
.
Příklad 5 (2 body). Dvanáctkrát nezávisle na sobě házíme třemi mincemi. Jaká je
pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce?
Řešení. Určíme-li nejprve pravděpodobnost opačného jevu, dostaneme výsledek
1 -
7
8
12
.
Příklad 6 (2 body). Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených
kladných čísel menších než 1 bude menší než 3
8
?
Řešení. Jde o jednoduchý příklad na geometrickou pravděpodobnost s řešením
3
8
2
2
.
Příklad 7 (2 body). Odvoďte větu o násobení podmíněných pravděpodobností pro
3 jevy.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 9 ­ uprostřed.
Příklad 8 (2 body). V urně jsou 2 bílé, 3 černé a 2 modré kuličky. Náhodně je vyta-
hujeme bez vracení. Jaká je pravděpodobnost, že dříve vytáhneme bílou než černou?
Řešení. Výsledek je
2
7
+
2
7

2
6
+
2
7

1
6

2
5
=
2
5
Příklad 9 (1 bod). Stanovte P(A/B) = P(A|B) (tj. určete pravděpodobnost jevu A
podmíněnou jevem B ­ nalezněte konkrétní číslo) pro A = B a také tehdy, když jsou jevy
A a B neslučitelné. (Pochopitelně požadujeme, aby P(B) = 0.)
Řešení. Zřejmě je
P(B/B) = 1; P(A/B) = 0, je-li A  B = .