První zápočtový test ­ G
Příklad 1 (1 bod). Kolika způsoby se může 35 cestujících rozsadit v autobuse, kde
je 35 míst?
Řešení. Výsledek je 35! ­ evidentně.
Příklad 2 (1 bod). Kterých čísel je víc mezi prvním miliónem přirozených čísel ­
těch, která mají některou číslici rovnou 5, nebo těch, která číslici 5 neobsahují? Víme, že
je 86
= 262 144, 96
= 531 441, (9)6  6 = 362 880, (10)5  6 = 181 440, (10)4  6  5 = 151 200,
(10)3  6  5  4 = 86 400, (10)2  6  5  4  3 = 32 400. Odpověď zdůvodněte.
Řešení. Čísel neobsahujících pětku je více: je jich
96
= 531 441.
Příklad 3 (2 body). Jaká je pravděpodobnost, že z dobře rozmíchané sady 32 karet
vytáhnu 5 karet téže barvy?
Řešení. Výsledek je
4  8
5
32
5
.
Příklad 4 (2 body). Při házení kostkou padla desetkrát za sebou šestka. Jaká je prav-
děpodobnost, že padne pojedenácté?
Řešení. Výsledek je zjevně
1
6
.
Příklad 5 (2 body). Co je pravděpodobnější? V rodině se 2 dětmi jsou chlapec a děvče,
nebo v rodině se 4 dětmi jsou dva chlapci a dvě děvčata? (Pravděpodobnost narození
chlapce považujme za 0,5.)
Řešení. Podle binomického rozdělení (Bernoulliova vzorce ­ viz také skriptum na str. 12)
je pravděpodobnější, že v rodině se 2 dětmi jsou chlapec a děvče, neboť platí
1
2
>
6
16
,
což jsou pravděpodobnosti jevů ze zadání.
Příklad 6 (2 body). V prvním klobouku je 1 bílá a 2 černé kuličky. Ve druhém klo-
bouku 3 bíle a 1 černá a ve třetím klobouku 2 bílé a 3 černé. Náhodně vybereme z každého
klobouku 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že tak dostaneme 2 bílé a 1 černou kuličku?
Řešení. Výsledek je
2
3

3
4

2
5
+
1
3

1
4

2
5
+
1
3

3
4

3
5
,
tj. 23
60
.
Příklad 7 (2 body). Jsou dva disjunktní jevy, z nichž ani jeden není nemožný, nezá-
vislé?
Řešení. Každé dva jevy A, B, pro které je A  B, P(A), P(B) = 0, nejsou nezávislé,
protože můžeme vyjádřit
P(A  B) = P() = 0 = P(A)  P(B).
Nastane-li jeden jev, nenastane druhý ­ závislost.
Příklad 8 (1 bod). Kolika způsoby můžeme mezi 4 chlapce rozdělit 40 stejných kuli-
ček?
Řešení. Přidejme ke 40 kuličkám troje zápalky. Poskládáme-li kuličky a zápalky do
řady, rozdělí sirky kuličky na 4 úseky. Náhodně seřaďme (rozlišitelné) chlapce.
Dáme-li prvnímu chlapci všechny kuličky z prvního úseku, druhému chlapci všechny
kuličky z druhého úseku atd., je již vidět, že všech rozdělení je právě
43
3
= 12 341.
Příklad 9 (2 body). Nechť je zcela náhodně rozdělena tyč o délce 10 na tři části.
Určete pravděpodobnost, že její první díl nebude delší než 1.
Řešení. Jedná se o příklad na geometrickou pravděpodobnost s výsledkem
102
2
- 92
2
102
2
= 1 -
9
10
2
= 0, 19.