Třetí zápočtový test ­ A
Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda jsou matice
A =


4 0 -5
2 7 159
2 7 1123

 , B =


7 2 0
0 0 3
0 -1489

113


řádkově ekvivalentní. Svou odpověď musíte zdůvodnit.
Řešení. Obě matice jsou zřejmě regulární, a proto jsou obě řádkově ekvivalentní s troj-
rozměrnou jednotkovou maticí. Řádková ekvivalence na množině všech matic daných roz-
měrů je ovšem relací ekvivalence, a tudíž jsou matice A a B řádkově ekvivalentní.
Příklad 2 (2 body). Za pomoci výpočtu inverzní matice vyřešte
x1 + x2 + x3 + x4 = 2,
x1 + x2 - x3 - x4 = 3,
x1 - x2 + x3 - x4 = 3,
x1 - x2 - x3 + x4 = 5.
Řešení. Neboť inverzní maticí k matici




1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1




je
1
4





1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1



 ,
dostáváme výsledek
x1 = 3
1
4
, x2 = -
3
4
, x3 = -
3
4
, x4 =
1
4
.
Příklad 3 (2 body). Nechť je dána množina
X = {1 + 2x - x5
, 6 + x3
, 1 - x - 3x5
, x7
- x25
, 1 - x7
, x3
- x4
, x2
- 4x7
}
reálných polynomů v P. Zjistěte, zda patří polynom
-3x5
+ 2x4
+ 6x + 15
do vektorového podprostoru P generovaného množinou X.
Řešení. Ano, patří. Platí například
3(1 + 2x - x5
) + 2(6 + x3
) - 2(x3
- x4
) = -3x5
+ 2x4
+ 6x + 15.
Příklad 4 (2 body). Jestliže lineárnímu zobrazení F : R3
 R3
přísluší (vzhledem ke
standardní bázi R3
) matice 

4 1 0
-1 8 4
0 5 -1


a lineárnímu zobrazení G : R3
 R5
odpovídá (vzhledem ke standardním bázím) matice






0 -2 1
3 -1 0
2 -4 7
2 -4 7
2 -4 7






,
určete matici, která zadává lineární zobrazení G  F (vzhledem ke standardním bázím).
Řešení. Výsledek je (viz cvičení)






2 -11 -9
13 -5 -4
12 5 -23
12 5 -23
12 5 -23






.
Příklad 5 (2 body). Najděte všechny matice Q, pro které platí
Q2
=
2 2
2 2
. ()
Zároveň dokažte, že jste uvedli všechny takové matice ­ že žádná jiná matice Q splňující
podmínku () neexistuje.
Řešení. Zaznělo na cvičení. Hledané matice existují dvě, a to

1 1
1 1
.
Příklad 6 (2 body). Zjistěte, jestli je množina V = {(a, b); a, b  R} s operacemi
 : V × V  V, (a, b)  (c, d) := (a + c, b + d), a, b, c, d  R,
: R × V  V, k (a, b) := (2ka, 2kb), a, b, k  R
vektorovým prostorem? Pokud ne, které z axiomů A1, A2, . . . , A8 nesplňuje? Pouze do-
plňme, že podmínky U1 a U2 očividně platí.
Řešení. Lehce se ověří, že se nejedná o vektorový prostor, neboť nejsou splněny axio-
my A7 a A8.
Příklad 7 (2 body). Určete číslo t  R tak, aby vektory u, v  R3
byly navzájem
kolmé, je-li:
a) u = (t, 2, -1), v = (1, -t, 3);
b) u = (1, 1, 2t), v = (t, t, -1);
c) u = (1, 2 - t, 3), v = (-t, 2, 1 + t).
Řešení. V první případě je t = -3, ve druhém můžeme zvolit t  R jakkoliv, ve třetím
potom hledané t  R neexistuje.
Příklad 8 (2 body). Spočítejte determinant m × m matic (m  N, m = 1)
P =









0 1 1    1 1
x2 1 0    0 0
x3 0 1    0 0
...
...
...
...
...
...
xm-1 0 0    1 0
xm 0 0    0 1









a
R =







1 - m 1 1    1
1 1 - m 1    1
1 1 1 - m    1
...
...
...
...
...
1 1 1    1 - m







.
Řešení. V případě matice P je vhodné od prvního řádku odečíst všechny ostatní. Takto
dostaneme, že
| P | = -(x2 + x3 +    + xm).
V případě matice R je naopak vhodné k prvnímu řádku přičíst všechny ostatní ­ tak
lze totiž odhalit, že se jedná o singulární matici.