Třetí zápočtový test ­ B
Příklad 1 (2 body). Spočítejte determinant matice








1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 0 0
4 3 2 1 0 0
1 2 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0








.
Řešení. Výsledek je
-105.
Příklad 2 (1 bod). Definujte skalární součin dvou vektorů v Rn
a uveďte, co zna-
mená, když o dvou n-rozměrných reálných vektorech řekneme, že jsou kolmé, a když o nich
řekneme, že jsou lineárně (ne)závislé. (Číslo n  N je libovolné.)
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 35, str. 39-40.
Příklad 3 (2 body). Vypočítejte
4 -1 3
0 1 -1



-1 0 4
1 2 -5
0 1 2

 


1 3 -1 0
0 -1 1 0
2 2 4 0

 .
Určete také hodnost výsledné matice.
Řešení. Výsledek je
49 38 114 0
-13 -12 -28 0
.
Hodnost této matice je zřejmě rovna 2.
Příklad 4 (2 body). Lineární zobrazení F : R3
 R4
je zadáno vztahem
F((x1, x2, x3)) = (2x3 - x1, 5x3 + x1, 0, x1 - 2x2 + 7x3), x1, x2, x3  R.
Napište matici ­ označme ji jako A, která toto zobrazení zadává (vzhledem ke standardním
bázím), a určete dim Ker A a dim Im A.
Řešení. Zřejmě je (viz cvičení)
A =




-1 0 2
1 0 5
0 0 0
1 -2 7




a
dim Im A = 3, dim Ker A = 0.
Příklad 5 (2 body). Jakou dimenzi má prostor reálných polynomů stupně nejvýše n,
přičemž n  N je blíže neupřesněné. Uveďte nějaké dvě jeho navzájem odlišné báze.
Řešení. Dimenze uvedeného prostoru je n + 1 (viz skriptum doc. Hilschera, str. 81).
Jeho bázi tvoří například lineárně nezávislé vektory
x0
, x1
, x2
, . . . , xn-1
, xn
nebo kupř.
25, x - 1, 6x2
+ 2, x3
, . . . , xn-1
, xn
apod.
Příklad 6 (1 bod). Uveďte nějaký vektorový prostor, který nemá konečnou bázi. (Ří-
káme, že má nekonečnou dimenzi.)
Řešení. Hledaným vektorovým prostorem je např. P. Viz skriptum doc. Hilschera,
10. kapitola ­ Příklad 95, (e); Důsledek 2.
Příklad 7 (1 bod). Nalezněte inverzní matici k n × n matici (n > 1)
A =








2 - n 1    1 1
1 2 - n
... 1 1
...
...
...
...
...
1 1
... 2 - n 1
1 1    1 2 - n








.
Napovězme, že
A-1
= a 







0 1 1    1
1 0 1    1
1 1 0
...
...
...
...
... ... 1
1 1    1 0







pro nějaké a  R.
Řešení. Výsledek je
a =
1
n - 1
.
Příklad 8 (2 body). Nechť jsou dány nějaké lineárně nezávislé vektory u, v, w, z v ně-
jakém vektorovém prostoru V . Zjistěte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory
u - 8v, 3u + w - z,
u - 4v + w + 2z,
4v + 8w + 4z.
Řešení. Lze snadno ukázat (viz cvičení), že dané vektory jsou nezávislé. Vyplývá to mj.
např. z toho, že je
det




1 3 1 0
-8 0 -4 4
0 1 1 8
0 -1 2 4



 = -324 = 0.
Příklad 9 (2 body). V závislosti na hodnotě parametru a  R rozhodněte o řešitel-
nosti (má, nebo nemá řešení), resp. o počtu řešení (bez hledání těchto řešení) soustavy
lineárních rovnic, která je zadaná maticí přidružené homogenní soustavy




4 1 4 a
2 3 6 8
3 2 5 4
6 -1 2 -8




a vektorem pravé strany 



2
5
3
-3



 .
Řešení. Pro a = 0 nemá uvažovaný systém řešení; pro a = 0 má nekonečně mnoho
řešení.