Třetí zápočtový test ­ C
Příklad 1 (1 bod). Co znamená, když o nějakém systému lineárních rovnic řekneme,
že je konzistentní, nebo nekonzistentní?
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 28.
Příklad 2 (1 bod). Uveďte příklad čtvercové pětirozměrné matice A, jejíž všechny
prvky jsou nenulové, takové, že
det A = | A | = 0.
Řešení. Jednoduchým příkladem hledané matice je např.






1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1






.
Zřejmě je hodnost této matice rovna 1, a proto je její determinant roven 0. (Determinant
čtvercové matice je nenulový, právě když jsou vektory určené jejími sloupci (resp. řádky)
lineárně nezávislé.)
Příklad 3 (2 body). Užitím Kramerova pravidla (jiný způsob výpočtu nebude uznán)
vypočítejte
4x + 5y + 4z = 2,
4x + 2y + 6z = 0,
2x + 4y + 2z = 2.
Řešení. Výsledek je
x = -
1
3
, y =
2
3
, z = 0,
neboť podle Kramerova pravidla je
x =
det


2 5 4
0 2 6
2 4 2


det


4 5 4
4 2 6
2 4 2


, y =
det


4 2 4
4 0 6
2 2 2


det


4 5 4
4 2 6
2 4 2


, z =
det


4 5 2
4 2 0
2 4 2


det


4 5 4
4 2 6
2 4 2


.
Příklad 4 (3 body). Libovolným způsobem určete A-1
, jestliže je
a) A =
1 i
-i 3
, přičemž i je imaginární jednotka,
b) A =


1 -5 -3
-1 5 4
-1 6 2

 .
Řešení. V prvním případě je
A-1
=
1
2

3 -i
i 1
.
Ve druhém je potom
A-1
=


14 8 5
2 1 1
1 1 0

 .
Příklad 5 (2 body). Zjistěte, zda matice
1 0
1 -2
,
1 4
0 -1
,
-5 0
3 0
,
1 -2
0 3
tvoří bázi vektorového prostoru Mat2×2.
Řešení. Uvedené čtyři matice jsou jako vektory v prostoru Mat2×2 lineárně nezávislé.
Vyplývá to z faktu, že matice




1 1 -5 1
0 4 0 -2
1 0 3 0
-2 -1 0 3




je regulární (tj. její hodnost je rovna 4, tj. je řádkově ekvivalentní s jednotkovou maticí, tj.
existuje k ní matice inverzní, tj. má nenulový determinant ­ roven 116, tj. jí zadaná homo-
genní soustava lineárních rovnic má pouze nulové řešení, tj. každý nehomogenní lineární
systém s levou stranou určenou touto maticí má právě jedno řešení, tj. jádro této matice
je triviální (pod)prostor, tj. obor hodnot lineárního zobrazení, jenž zadává, je vektorový
prostor dimenze 4, tj. toto zobrazení je injektivní).
Příklad 6 (2 body). Nechť je zobrazení F : Mat2×2  Mat2×2 zadáno předpisem
F(X) =
1 1
0 0
 X + X 
0 0
1 1
, X  Mat2×2. ()
Rozhodněte (a svou odpověď odůvodněte), zda je F lineární. Pokud je lineární, lze jej
reprezentovat vhodnou maticí ­ označme ji jako A (nějakou takovou ­ tato matice, pokud
je F lineární, není dána jednoznačně). Je-li F lineární, určete dim Ker A a dim Im A.
Řešení. Rozepsáním předpisu () vzhledem k prvkům matice X lze dokázat, že zobra-
zení F je lineární (viz cvičení). Bez ohledu na to, jakou maticí jej budeme reprezentovat
(tedy vzhledem k jaké bázi), vždy musí vyjít dim Ker A = 1 a dim Im A = 3. (Viz také
druhá polovina 10. kapitoly ve skriptu doc. Hilschera.)
Příklad 7 (2 body). Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic
tří reálných proměnných, jejíž množinou řešení je:
a) {(0, 0, 0)};
b) {(0, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 0)};
c) {(x, 1, 0); x  R};
d) {(0, 2x, x); x  R}.
Řešení. Při zachování pořadí jsou správné odpovědi: ,,ano", ,,ne", ,,ne" a ,,ano".
Příklad 8 (1 bod). Který z následujících vztahů
a) h(A) = dim Im A,
b) AT T
= A,
c) A určuje lineární zobrazení Rm
do Rn
,
d) n = h(A) + dim Ker A
neplatí pro všechny reálné matice A o rozměrech m × n? Napište ,,a", ,,b", ,,c", nebo ,,d".
(Čísla m, n  N jsou libovolná.)
Řešení. Matice A vzhledem ke svým rozměrům zadává lineární zobrazení Rn
do Rm
.
Mělo být odpovězeno ,,c" (uvažte n = m).
Příklad 9 (1 bod). Nechť jsou dány dvě symetrické matice A a B. Platí, že pokud je
jejich součin symetrickou maticí, potom matice A a B komutují?
Řešení. Ano, platí. Viz skriptum doc. Hilschera, Kapitola 8, Tvrzení 8. Také např. platí,
že je-li matice A regulární, je symetrická rovněž matice A-1
, a několik dalších zajímavých
tvrzení.