Třetí zápočtový test ­ D
Příklad 1 (2 body). Za pomoci násobení elementárními maticemi zprava vypočítejte
soustavu lineárních rovnic
3x - 5y + 2u + 4z = 2,
5x + 7y - 4u - 6z = 3,
7x - 4y + u + 3z = 5.
Řešení. Soustava je neřešitelná (tj. nemá řešení).
Příklad 2 (2 body). V reálném trojrozměrném prostoru určete nějaký (lhostejno
jaký) nenulový vektor w kolmý k oběma vektorům u a v. Přitom
a) u = (1, -1, 2), v = (3, 1, 1),
b) u = (1, 0, 1), v = (-1, 3, 2),
c) u = (1, -1, 3), v = (0, 0, 1).
Řešení. Uvážíme-li, jak je definováno, že dva vektory jsou kolmé, potažmo definici ska-
lární součinu, zjistíme, že se zřejmě jedná o jednoduchou úlohu na nalezení alespoň jednoho
nenulového řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, která má nekonečně mnoho řešení.
Výsledkem je např.
wa) = (-3, 5, 4), wb) = (1, 1, -1), wc) = (1, 1, 0).
Příklad 3 (2 body). Napište nějaké dvě matice A a B, které mají nuly na (hlavní)
diagonále a které splňují tyto tři podmínky
A2
= I, B2
= -I, A2
+ B2
= 0,
přičemž symbolem I označujeme jednotkovou a symbolem 0 nulovou čtvercovou matici
stejného rozměru, jakého jsou matice A a B.
Dále uveďte nějakou matici C, pro niž zároveň platí
C2
= C, C = I, C = 0.
Řešení. Můžeme např. položit
A =
0 1
1 0
, B =
0 1
-1 0
, C =
1 0
0 0
.
Viz demonstrativní cvičení, Příklad 35.
Příklad 4 (3 body). Vypočítejte adjungované matice k maticím
(a)




3 -2 0 -1
0 2 2 1
1 -2 -3 -2
0 1 2 1



 , (b)
1 + i 2i
3 - 2i 6
,
přičemž i označuje imaginární jednotku.
Řešení. Výslednými maticemi jsou
(a)




1 1 -2 -4
0 1 0 -1
-1 -1 3 6
2 1 -6 -10



 , (b)
6 -2i
-3 + 2i 1 + i
.
Příklad 5 (3 body). Vyřešte níže uvedenou maticovou rovnici, tj. nalezněte všechny
dvojrozměrné čtvercové matice X, pro něž platí
X 
2 5
1 3
=
4 -6
2 1
.
Řešení. Hledaná matice existuje právě jedna, a to
18 -32
5 -8
.
Příklad 6 (2 body). Zjistěte, zda je množina V = {(1, x); x  R} s operacemi
 : V × V  V, (1, y)  (1, z) := (1, z + y) pro všechna y, z  R,
: R × V  V, z (1, y) := (1, y  z) pro všechna y, z  R
vektorovým prostorem? Které z axiomů A1, A2, . . . , A8 splňuje? Platí podmínky U1 a U2?
Své odpovědi musíte zdůvodnit!
Řešení. Lehce se ověří, že se jedná o vektorový prostor. První souřadnice neovlivňuje
výpočty součtů vektorů ani hodnoty skalárních násobků vektorů: jedná se o přeznačený
prostor (R, +, ) ­ obecně, každé těleso (tj. pole) je vektorový prostor sám nad sebou
(viz cvičení).
Příklad 7 (1 bod). Napište matici zobrazení rotací o úhel  kolem osy y v R3
.
Řešení. Viz demonstrativní cvičení (Příklad 31). Výsledek je


cos  0 sin 
0 1 0
- sin  0 cos 

 .