Třetí zápočtový test ­ E
Příklad 1 (3 body). Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze tvořená
vektory u, v, w, z a vektorový prostor U a dva v něm lineárně závislé vektory x, y. Zjistěte,
zda jsou (v daných vektorových prostorech V a U) vektory
a) u - 3v + z, v - 5w - z, 3w - 7z, u - 81w + z
b) x - 3y, 5x - y
lineárně závislé, nebo nezávislé.
Řešení. V prvním případě jsou vektory lineárně nezávislé, jak lze snadno zjistit (viz
cvičení). Ve druhém jsou potom lineárně závislé, neboť x je skalárním násobkem y (x a y
jsou závislé), a proto jsou všechny jejich lineární kombinace násobkem jistého vektoru.
Příklad 2 (2 body). Za pomoci Frobeniovy věty rozhodněte o řešitelnosti soustavy
lineárních rovnic
3x1 + 3x2 + x4 = 1,
2x1 + 3x2 - x4 = 8,
2x1 - 3x2 + x4 = 4,
3x1 - 2x2 + x4 = 6.
Tedy určete, jestli má, či nemá řešení.
Řešení. Soustava má řešení (dokonce nekonečně mnoho), protože je
3 




3
2
2
3



 -




3
3
-3
-2



 - 5 




1
-1
1
1



 =




1
8
4
6



 .
Příklad 3 (2 body). Uveďte definici transponované matice k libovolné matici C. Co
znamená, že dvě čtvercové matice A a B stejného rozměru komutují? Co znamená, když
o nich řekneme, že A a B jsou (řádkově) ekvivalentní?
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 49, resp. 54.
Příklad 4 (2 body). Jsou množiny
U = {(a1, a2, a3, a4); a1, a2, a3, a4  R, a1 - 5a3 +

2a4 = 0},
V = {(b1, b2, b3, b4); b1, b2, b3, b4  R, b1 = 1},
W = {(1, 2, 3, 4); 1, 2, 3, 4  R, 1 = 3},
vlastní podprostory vektorového prostoru R4
? Které z těchto množin jsou? Které nejsou?
Řešení. Vlastními podprostory vektorového prostoru R4
jsou množiny U a W. Množi-
na V je (obecnějším) afinním prostorem, který není vektorový, neboť rovnice b1 = 1 je
nehomogenní (dané podprostory jsou vlastně množiny řešení daných rovnic).
Příklad 5 (2 body). Vypočítejte determinanty matic
A =


4 -1 1
1 8 0
3 1 3

 ,
B =






74 -11 51 1 16
-7 2 -8 4 1117
21 0 0 0 0
-1178 0 0 0 0
 0 0 0 0






.
Řešení. Výsledky jsou
| A | = 76, | B | = 0.
Uvědomte si, že poslední tři řádky matice B jsou skalárními násobky řádkového vektoru
(1, 0, 0, 0, 0),
a proto jsou lineárně závislé. To již implikuje, že determinant B je roven 0.
Příklad 6 (1 bod). Popište, jak vypadá podprostor vektorového prostoru P genero-
vaný množinou
M = {0, 3x2
, 1 - x, 2x2
+ x, x - 111, 1 - x2
, x2
- 17, -4x}.
Řešení. Zřejmě je
M = P2.
Příklad 7 (2 body). Nechť je dáno
A =


4 5 1
3 4 0
1 1 1

 , x =


x1
x2
x3

 , b =


b1
b2
b3

 .
Najděte taková reálná čísla b1, b2, b3, aby reálný systém lineárních rovnic A  x = b měl:
a) nekonečně mnoho řešení;
b) právě jedno řešení;
c) méně než jedno řešení;
d) právě 4 řešení.
Lze vždy najít taková čísla?
Řešení. Správné odpovědi jsou:
a) např. b1, b2, b3 = 0;
b) nelze;
c) např. b1 = 0, b2 = 0, b3 = 1;
d) nelze.
Příklad 8 (1 bod). Uvažujte 2 × 2 matici
A =
a b
c d
a určete její mocniny A1
, A2
a A3
.
Řešení. Viz demonstrativní cvičení, Příklad 33.