Třetí zápočtový test ­ F
Příklad 1 (2 body). Vyřešte soustavu reálných lineárních rovnic
x1 + 4x2 + 2 x3 = 0,
2x1 + 3x2 - x3 = 0,
ve které   R je parametr.
Řešení. Množina všech řešení je
{(-10 t, ( + 4) t, (3 - 8) t); t  R}.
Příklad 2 (3 body). Libovolným způsobem vypočítejte systém homogenních lineár-
ních rovnic zadaný maticí




0

2

3

6 0
2 2

3 -2 -

5
0 2

5 2

3 -

3
3 3

3 -3 0



 .
Řešení. Řešením jsou právě všechny skalární násobky vektoru






x1
x2
x3
x4
x5






=






1 +

3
-

3
0
1
0






Příklad 3 (2 body). Spočtěte determinanty matic
A =






a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 0 0 0
a41 a42 0 0 0
a51 a52 0 0 0






, B = b11 ,
přičemž konkrétní hodnota čísel aij, b není upřesněna.
Řešení. Determinant matice A je roven 0: stačí uvážit zjevnou lineární závislost posled-
ních tří řádků této matice nebo blokový tvar A po záměně prvních dvou za poslední dva
sloupce.
Determinant matice B je pak roven číslu b11.
Příklad 4 (3 body). V závislosti na parametru t  R určete dimenzi podprostoru U
vektorového prostoru R3
, je-li U generován vektory:
a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, t, 1), u3 = (2, 2, t);
b) u1 = (5, 7, -1), u2 = (-10, -14, 2), u3 = (0, 0, 0), u4 = (2t, 1, -2);
c) u1 = (t, t, t), u2 = (6t, 6t, 6t), u3 = (-4t, -4t, 4t), u4 = (-2, -2, -2);
d) u1 = (0, 0, 0), u2 = (5t, -3t, t).
Řešení. V prvním případě je pro t  {1, 2} dim U = 2, jinak je dim U = 3. Ve druhém
a ve třetím případě je vždy dim U = 2. Ve čtvrtém je potom pro t = 0 dim U = 1 a pro
t = 0 je dim U = 0.
Příklad 5 (1 bod). Napište definici lineární nezávislosti a závislosti vektorů libovol-
ného konečného počtu v libovolném reálném vektorovém prostoru konečné dimenze.
Řešení. Viz skriptum doc. Hilschera, str. 74.
Příklad 6 (1 bod). Udejte příklad nějaké regulární diagonální matice, která není sy-
metrická, ale k ní inverzní matice symetrická je.
Řešení. Hledaná matice neexistuje: každá diagonální matice je symetrická.
Příklad 7 (1 body). Popište všechny matice o rozměrech 5 × 5, ke kterým existují
inverzní matice, takové, že součinem daných matic a jejich inverzí v libovolném pořadí
je matice jednotková. Charakterizujte je např. nějakou podmínkou, kterou musí splňovat
a kterou zároveň žádné jiné matice nesplňují.
Řešení. Požadavkům zjevně vyhovuje každá regulární matice, tj. vyhovují jim právě
ty matice daného rozměru, jejichž hodnost je rovna 5, tj. takové matice 5 × 5, které mají
nenulový determinant. Další ekvivalentní podmínky ­ viz skriptum doc. Hilschera.
Příklad 8 (2 body). Vypočítejte inverzní matici k matici
A =


1 0 -2
2 -2 1
5 -5 2

 .
Správnost výpočtu můžete poté ověřit.
Řešení. Výsledek je
A-1
=


1 10 -4
1 12 -5
0 5 -2

 .