Třetí zápočtový test ­ A Příklad 1 (1 bod). Rozhodněte, zda jsou matice A = 4 0 -5 2 7 159 2 7 1123 , B = 7 2 0 0 0 3 0 -1489 113 řádkově ekvivalentní. Svou odpověď musíte zdůvodnit. Příklad 2 (2 body). Za pomoci výpočtu inverzní matice vyřešte x1 + x2 + x3 + x4 = 2, x1 + x2 - x3 - x4 = 3, x1 - x2 + x3 - x4 = 3, x1 - x2 - x3 + x4 = 5. Příklad 3 (2 body). Nechť je dána množina X = {1 + 2x - x5 , 6 + x3 , 1 - x - 3x5 , x7 - x25 , 1 - x7 , x3 - x4 , x2 - 4x7 } reálných polynomů v P. Zjistěte, zda patří polynom -3x5 + 2x4 + 6x + 15 do vektorového podprostoru P generovaného množinou X. Příklad 4 (2 body). Jestliže lineárnímu zobrazení F : R3 R3 přísluší (vzhledem ke standardní bázi R3 ) matice 4 1 0 -1 8 4 0 5 -1 a lineárnímu zobrazení G : R3 R5 odpovídá (vzhledem ke standardním bázím) matice 0 -2 1 3 -1 0 2 -4 7 2 -4 7 2 -4 7 , určete matici, která zadává lineární zobrazení G F (vzhledem ke standardním bázím). Příklad 5 (2 body). Najděte všechny matice Q, pro které platí Q2 = 2 2 2 2 . () Zároveň dokažte, že jste uvedli všechny takové matice ­ že žádná jiná matice Q splňující podmínku () neexistuje. Příklad 6 (2 body). Zjistěte, jestli je množina V = {(a, b); a, b R} s operacemi : V × V V, (a, b) (c, d) := (a + c, b + d), a, b, c, d R, : R × V V, k (a, b) := (2ka, 2kb), a, b, k R vektorovým prostorem? Pokud ne, které z axiomů A1, A2, . . . , A8 nesplňuje? Pouze do- plňme, že podmínky U1 a U2 očividně platí. Příklad 7 (2 body). Určete číslo t R tak, aby vektory u, v R3 byly navzájem kolmé, je-li: a) u = (t, 2, -1), v = (1, -t, 3); b) u = (1, 1, 2t), v = (t, t, -1); c) u = (1, 2 - t, 3), v = (-t, 2, 1 + t). Příklad 8 (2 body). Spočítejte determinant m × m matic (m N, m = 1) P = 0 1 1 1 1 x2 1 0 0 0 x3 0 1 0 0 ... ... ... ... ... ... xm-1 0 0 1 0 xm 0 0 0 1 a R = 1 - m 1 1 1 1 1 - m 1 1 1 1 1 - m 1 ... ... ... ... ... 1 1 1 1 - m . Třetí zápočtový test ­ B Příklad 1 (2 body). Spočítejte determinant matice 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 . Příklad 2 (1 bod). Definujte skalární součin dvou vektorů v Rn a uveďte, co zna- mená, když o dvou n-rozměrných reálných vektorech řekneme, že jsou kolmé, a když o nich řekneme, že jsou lineárně (ne)závislé. (Číslo n N je libovolné.) Příklad 3 (2 body). Vypočítejte 4 -1 3 0 1 -1 -1 0 4 1 2 -5 0 1 2 1 3 -1 0 0 -1 1 0 2 2 4 0 . Určete také hodnost výsledné matice. Příklad 4 (2 body). Lineární zobrazení F : R3 R4 je zadáno vztahem F((x1, x2, x3)) = (2x3 - x1, 5x3 + x1, 0, x1 - 2x2 + 7x3), x1, x2, x3 R. Napište matici ­ označme ji jako A, která toto zobrazení zadává (vzhledem ke standardním bázím), a určete dim Ker A a dim Im A. Příklad 5 (2 body). Jakou dimenzi má prostor reálných polynomů stupně nejvýše n, přičemž n N je blíže neupřesněné. Uveďte nějaké dvě jeho navzájem odlišné báze. Příklad 6 (1 bod). Uveďte nějaký vektorový prostor, který nemá konečnou bázi. (Ří- káme, že má nekonečnou dimenzi.) Příklad 7 (1 bod). Nalezněte inverzní matici k n × n matici (n > 1) A = 2 - n 1 1 1 1 2 - n ... 1 1 ... ... ... ... ... 1 1 ... 2 - n 1 1 1 1 2 - n . Napovězme, že A-1 = a 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 0 pro nějaké a R. Příklad 8 (2 body). Nechť jsou dány nějaké lineárně nezávislé vektory u, v, w, z v ně- jakém vektorovém prostoru V . Zjistěte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory u - 8v, 3u + w - z, u - 4v + w + 2z, 4v + 8w + 4z. Příklad 9 (2 body). V závislosti na hodnotě parametru a R rozhodněte o řešitel- nosti (má, nebo nemá řešení), resp. o počtu řešení (bez hledání těchto řešení) soustavy lineárních rovnic, která je zadaná maticí přidružené homogenní soustavy 4 1 4 a 2 3 6 8 3 2 5 4 6 -1 2 -8 a vektorem pravé strany 2 5 3 -3 . Třetí zápočtový test ­ C Příklad 1 (1 bod). Co znamená, když o nějakém systému lineárních rovnic řekneme, že je konzistentní, nebo nekonzistentní? Příklad 2 (1 bod). Uveďte příklad čtvercové pětirozměrné matice A, jejíž všechny prvky jsou nenulové, takové, že det A = | A | = 0. Příklad 3 (2 body). Užitím Kramerova pravidla (jiný způsob výpočtu nebude uznán) vypočítejte 4x + 5y + 4z = 2, 4x + 2y + 6z = 0, 2x + 4y + 2z = 2. Příklad 4 (3 body). Libovolným způsobem určete A-1 , jestliže je a) A = 1 i -i 3 , přičemž i je imaginární jednotka, b) A = 1 -5 -3 -1 5 4 -1 6 2 . Příklad 5 (2 body). Zjistěte, zda matice 1 0 1 -2 , 1 4 0 -1 , -5 0 3 0 , 1 -2 0 3 tvoří bázi vektorového prostoru Mat2×2. Příklad 6 (2 body). Nechť je zobrazení F : Mat2×2 Mat2×2 zadáno předpisem F(X) = 1 1 0 0 X + X 0 0 1 1 , X Mat2×2. () Rozhodněte (a svou odpověď odůvodněte), zda je F lineární. Pokud je lineární, lze jej reprezentovat vhodnou maticí ­ označme ji jako A (nějakou takovou ­ tato matice, pokud je F lineární, není dána jednoznačně). Je-li F lineární, určete dim Ker A a dim Im A. Příklad 7 (2 body). Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic tří reálných proměnných, jejíž množinou řešení je: a) {(0, 0, 0)}; b) {(0, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 0)}; c) {(x, 1, 0); x R}; d) {(0, 2x, x); x R}. Příklad 8 (1 bod). Který z následujících vztahů a) h(A) = dim Im A, b) AT T = A, c) A určuje lineární zobrazení Rm do Rn , d) n = h(A) + dim Ker A neplatí pro všechny reálné matice A o rozměrech m × n? Napište ,,a", ,,b", ,,c", nebo ,,d". (Čísla m, n N jsou libovolná.) Příklad 9 (1 bod). Nechť jsou dány dvě symetrické matice A a B. Platí, že pokud je jejich součin symetrickou maticí, potom matice A a B komutují? Třetí zápočtový test ­ D Příklad 1 (2 body). Za pomoci násobení elementárními maticemi zprava vypočítejte soustavu lineárních rovnic 3x - 5y + 2u + 4z = 2, 5x + 7y - 4u - 6z = 3, 7x - 4y + u + 3z = 5. Příklad 2 (2 body). V reálném trojrozměrném prostoru určete nějaký (lhostejno jaký) nenulový vektor w kolmý k oběma vektorům u a v. Přitom a) u = (1, -1, 2), v = (3, 1, 1), b) u = (1, 0, 1), v = (-1, 3, 2), c) u = (1, -1, 3), v = (0, 0, 1). Příklad 3 (2 body). Napište nějaké dvě matice A a B, které mají nuly na (hlavní) diagonále a které splňují tyto tři podmínky A2 = I, B2 = -I, A2 + B2 = 0, přičemž symbolem I označujeme jednotkovou a symbolem 0 nulovou čtvercovou matici stejného rozměru, jakého jsou matice A a B. Dále uveďte nějakou matici C, pro niž zároveň platí C2 = C, C = I, C = 0. Příklad 4 (3 body). Vypočítejte adjungované matice k maticím (a) 3 -2 0 -1 0 2 2 1 1 -2 -3 -2 0 1 2 1 , (b) 1 + i 2i 3 - 2i 6 , přičemž i označuje imaginární jednotku. Příklad 5 (3 body). Vyřešte níže uvedenou maticovou rovnici, tj. nalezněte všechny dvojrozměrné čtvercové matice X, pro něž platí X 2 5 1 3 = 4 -6 2 1 . Příklad 6 (2 body). Zjistěte, zda je množina V = {(1, x); x R} s operacemi : V × V V, (1, y) (1, z) := (1, z + y) pro všechna y, z R, : R × V V, z (1, y) := (1, y z) pro všechna y, z R vektorovým prostorem? Které z axiomů A1, A2, . . . , A8 splňuje? Platí podmínky U1 a U2? Své odpovědi musíte zdůvodnit! Příklad 7 (1 bod). Napište matici zobrazení rotací o úhel kolem osy y v R3 . Třetí zápočtový test ­ E Příklad 1 (3 body). Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze tvořená vektory u, v, w, z a vektorový prostor U a dva v něm lineárně závislé vektory x, y. Zjistěte, zda jsou (v daných vektorových prostorech V a U) vektory a) u - 3v + z, v - 5w - z, 3w - 7z, u - 81w + z b) x - 3y, 5x - y lineárně závislé, nebo nezávislé. Příklad 2 (2 body). Za pomoci Frobeniovy věty rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 3x1 + 3x2 + x4 = 1, 2x1 + 3x2 - x4 = 8, 2x1 - 3x2 + x4 = 4, 3x1 - 2x2 + x4 = 6. Tedy určete, jestli má, či nemá řešení. Příklad 3 (2 body). Uveďte definici transponované matice k libovolné matici C. Co znamená, že dvě čtvercové matice A a B stejného rozměru komutují? Co znamená, když o nich řekneme, že A a B jsou (řádkově) ekvivalentní? Příklad 4 (2 body). Jsou množiny U = {(a1, a2, a3, a4); a1, a2, a3, a4 R, a1 - 5a3 + 2a4 = 0}, V = {(b1, b2, b3, b4); b1, b2, b3, b4 R, b1 = 1}, W = {(1, 2, 3, 4); 1, 2, 3, 4 R, 1 = 3}, vlastní podprostory vektorového prostoru R4 ? Které z těchto množin jsou? Které nejsou? Příklad 5 (2 body). Vypočítejte determinanty matic A = 4 -1 1 1 8 0 3 1 3 , B = 74 -11 51 1 16 -7 2 -8 4 1117 21 0 0 0 0 -1178 0 0 0 0 0 0 0 0 . Příklad 6 (1 bod). Popište, jak vypadá podprostor vektorového prostoru P genero- vaný množinou M = {0, 3x2 , 1 - x, 2x2 + x, x - 111, 1 - x2 , x2 - 17, -4x}. Příklad 7 (2 body). Nechť je dáno A = 4 5 1 3 4 0 1 1 1 , x = x1 x2 x3 , b = b1 b2 b3 . Najděte taková reálná čísla b1, b2, b3, aby reálný systém lineárních rovnic A x = b měl: a) nekonečně mnoho řešení; b) právě jedno řešení; c) méně než jedno řešení; d) právě 4 řešení. Lze vždy najít taková čísla? Příklad 8 (1 bod). Uvažujte 2 × 2 matici A = a b c d a určete její mocniny A1 , A2 a A3 . Třetí zápočtový test ­ F Příklad 1 (2 body). Vyřešte soustavu reálných lineárních rovnic x1 + 4x2 + 2 x3 = 0, 2x1 + 3x2 - x3 = 0, ve které R je parametr. Příklad 2 (3 body). Libovolným způsobem vypočítejte systém homogenních lineár- ních rovnic zadaný maticí 0 2 3 6 0 2 2 3 -2 - 5 0 2 5 2 3 - 3 3 3 3 -3 0 . Příklad 3 (2 body). Spočtěte determinanty matic A = a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0 , B = b11 , přičemž konkrétní hodnota čísel aij, b není upřesněna. Příklad 4 (3 body). V závislosti na parametru t R určete dimenzi podprostoru U vektorového prostoru R3 , je-li U generován vektory: a) u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, t, 1), u3 = (2, 2, t); b) u1 = (5, 7, -1), u2 = (-10, -14, 2), u3 = (0, 0, 0), u4 = (2t, 1, -2); c) u1 = (t, t, t), u2 = (6t, 6t, 6t), u3 = (-4t, -4t, 4t), u4 = (-2, -2, -2); d) u1 = (0, 0, 0), u2 = (5t, -3t, t). Příklad 5 (1 bod). Napište definici lineární nezávislosti a závislosti vektorů libovol- ného konečného počtu v libovolném reálném vektorovém prostoru konečné dimenze. Příklad 6 (1 bod). Udejte příklad nějaké regulární diagonální matice, která není sy- metrická, ale k ní inverzní matice symetrická je. Příklad 7 (1 body). Popište všechny matice o rozměrech 5 × 5, ke kterým existují inverzní matice, takové, že součinem daných matic a jejich inverzí v libovolném pořadí je matice jednotková. Charakterizujte je např. nějakou podmínkou, kterou musí splňovat a kterou zároveň žádné jiné matice nesplňují. Příklad 8 (2 body). Vypočítejte inverzní matici k matici A = 1 0 -2 2 -2 1 5 -5 2 . Správnost výpočtu můžete poté ověřit.