Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Drsná matematika III ­ 6. demonstrovaná cvičení
Vázané extrémy
Martin Panák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
31.10. 2006
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Vyřešte diferenciální rovnici pro funkci y = y(x)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Vyřešte diferenciální rovnici pro funkci y = y(x)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
.
Řešení. x+C
1-Cx . (použijte součtového vzorce pro tangens). 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Čistička vody o objemu 2000 m3 byla znečištěna olovem, které se
nachází ve vodě v ní v množství 10 g/m3. Do čističky přitéká čistá
voda rychlostí 2 m3/s a stejnou rychlostí i vytéká. Za jak dlouho
poklesne obsah olova ve vodě v čističce pod 10 g/m3,
předpokládáme-li, že voda je neustále rovnoměrně promíchávána?
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Řešení. Označme objem vody v nádrži jako V (m3), rychlost
vytékání vody jako v (m3/s). Za infinitezimální (nekonečně malou)
časovou jednotku dt vyteče z nádrže m
V  v dt gramů olova, pro
změnu hmotnosti množství olova v čističce tedy můžeme sestavit
diferenciální rovnici
dm = -
m
V
 v dt.
Separací proměnných snadno najdeme řešení m(t) = m0e
v
V
t
, kde
m0 je množství olova v nádrži v čase t = 0. Po dosazení číselných
hodnot dostaneme (aspoň doufám), že t
.
= 4, 5h. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost, kterou se rozpadá daný izotop daného prvku, je přímo
úměrná množství daného izotopu. Poločas rozpadu izotopu
Plutonia, 239Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude setina z
nukleární pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop?
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost, kterou se rozpadá daný izotop daného prvku, je přímo
úměrná množství daného izotopu. Poločas rozpadu izotopu
Plutonia, 239Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude setina z
nukleární pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop?
Řešení. Označíme-li množství Plutonia jako m, tak pro rychlost
rozkladu můžeme napsat diferenciální rovnici
dm
dt
= k  m,
kde k je nějaká neznámá konstanta. Řešením je tedy funkce
m(t) = m0e-kt. Dosazením do rovnice pro poločas rozpadu
(e-kt = 1
2 ) získáme konstantu k
.
= 2, 88  105. Hledaný čas je pak
přibližně 349 let. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Vypočtěte objem kulové úseče, který odřezává rovina z = 1 z koule
x2 + y2 + z2 = 2.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Vypočtěte objem kulové úseče, který odřezává rovina z = 1 z koule
x2 + y2 + z2 = 2.
Řešení. Spočítáme integrál v kulových souřadnicích. Úseč si
můžeme představit jako kulovou výseč bez kužele (s vrcholem v
bodě [0, 0, 0] a kruhovou podstavou z = 1, x2 + y2 = 1). Výseč je
v těchto souřadnicích součinem intervalů
(0,

2) × 0, 2) × 0, /4 . Integrujeme tedy v daných mezích a
to v libovolném pořadí.
2
0

2
0

4
0
r2
sin() d dr d =
4
3
(

2 - 1).
Musíme ještě odečíst objem kužele. Ten je roven 1
3 R2V (kde R je
poloměr podstavy kužele a V jeho výška, v našem případě jsou obě
hodnoty rovny jedné) tedy celkový objem je
Vvýseč - Vkužel =
4
3
(

2 - 1) -
1
3
 =
1
3
(4

2 - 5).
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost šíření zprávy v populaci o P lidech je přímo úměrná počtu
lidí, kteří zprávu ještě neslyšeli. Určete funkci f popisující počet lidí
v čase, kteří již zprávu slyšeli. Je vhodné tento model šíření zprávy
používat pro malá nebo velká P?
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost šíření zprávy v populaci o P lidech je přímo úměrná počtu
lidí, kteří zprávu ještě neslyšeli. Určete funkci f popisující počet lidí
v čase, kteří již zprávu slyšeli. Je vhodné tento model šíření zprávy
používat pro malá nebo velká P?
Řešení. Sestavíme diferenciální rovnici pro f . Rychlost šíření
zprávy df
dt = f (t) má být přímo úměrná počtu lidí, kteří o ní ještě
neslyšeli, tedy hodnotě P - f (t). Celkem
df
dt
= k(P - f (t)).
Separací proměnných a zavedením konstanty K (počet lidí, kteří
znají zprávu v čase t = 0 musí být P - K) dostáváme řešení
f (t) = P - Ke-kt
,
kde k je kladná reálná konstanta.
Tento model má zřejmě smysl jen pro velká P. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost, kterou se šíří epidemie v dané uzavřené populaci o P
lidech je přímo úměrná součinu počtu lidí, kteří jsou nakaženi, a
počtu lidí, kteří jsou ještě nenakaženi. Určete funkci f (t) popisující
počet nakažených v čase.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rychlost, kterou se šíří epidemie v dané uzavřené populaci o P
lidech je přímo úměrná součinu počtu lidí, kteří jsou nakaženi, a
počtu lidí, kteří jsou ještě nenakaženi. Určete funkci f (t) popisující
počet nakažených v čase.
Jako v přechozím příkladě sestavíme diferenciální rovnici
Řešení.
df
dt
= k  f (t) (P - f (t)) .
Opět separací proměnných a zavedením vhodných konstant K a L
dostáváme
f (t) =
K
1 + Le-Kkt
.
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = tan(xy + y)
v bodě (0, 0).
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = tan(xy + y)
v bodě (0, 0).
y + xy
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
3x2
+ 3y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
3x2
+ 3y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je. Dostaneme osm stacionárních
bodů x = 1
3 , y = 1
3 , z =  1
3
, čtytři z nich jsou lokální
maxima s maximem 1
9

3
, čtyři pak minima.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je dáno průnikem koule
x2 + y2 + z2 = 4 s válcem x2 + y2 = 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je dáno průnikem koule
x2 + y2 + z2 = 4 s válcem x2 + y2 = 1.
8
/2
0
1
0
r 4 - r2 dr d =
2
3
(8 - 3

3).
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = tan(xy)
v bodě (0, 0).
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = tan(xy)
v bodě (0, 0).
Řešení.
xy
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
3x2
+ y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
3x2
+ y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Řešení. Dostaneme osm stacionárních bodů x = 1
3 , y =  1
3
,
z =  1
3
. čtytři z nich jsou lokální maxima, čtyři pak minima. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je dáno průnikem koule
x2 + y2 + z2 = 2 s paraboloidem z = x2 + y2.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je dáno průnikem koule
x2 + y2 + z2 = 2 s paraboloidem z = x2 + y2.
Řešení.
2
0
1
0

(2-r2)
r2
r dz dr d =
4

2
3
-
7
6
.
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = cos(xy + y)
v bodě (0, 0).
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = cos(xy + y)
v bodě (0, 0).
Řešení.
1 -
1
2
y2
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
2x2
+ 2y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
2x2
+ 2y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Řešení. Dostaneme osm stacionárních bodů x =  1
6
, y =  1
6
,
z =  1
3
. čtytři z nich jsou lokální maxima, čtyři pak minima. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je ohraničeno válcem
4x2 + y2 = 1, rovinami z = 2y a z = 0, ležící nad rovinou z = 0.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je ohraničeno válcem
4x2 + y2 = 1, rovinami z = 2y a z = 0, ležící nad rovinou z = 0.
Řešení.
2
1
2
0

1-4x2
0
2y dy dx =
2
3
.
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
1 Domácí úlohy z předminulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
3 Písemka, skup. A
Příklad 1.
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
4 Písemka, skup. B
Příklad 1.
Příklad 2.
Příklad 3.
5 Písemka, skup. C
Příklad 1.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = sin(xy + y)
v bodě (0, 0).
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2  R,
f (x, y) = sin(xy + y)
v bodě (0, 0).
Řešení.
xy + y
2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
2x2
+ y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3  R,
f (x, y, z) = xyz, na elipsoidu určeném rovnicí
2x2
+ y2
+ z2
= 1,
Pokud extrémy existují, určete je.
Řešení. Dostaneme osm stacionárních bodů x =  1
6
, y =  1
3
,
z =  1
3
. čtytři z nich jsou lokální maxima, čtyři pak minima. 2
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je ohraničeno paraboloidem
2x2 + y2 = z a rovinou z = 2.
Domácí úlohy z předminulého týdne Domácí úlohy z minulého týdne Písemka, skup. A Písemka, skup. B Písemka, skup. C Píse
Určete objem tělesa v R3, které je ohraničeno paraboloidem
2x2 + y2 = z a rovinou z = 2.
Řešení.
4
1
0

2-2x2
0
2
2x2+y2
dz dy dx =

2.
2