MOZAIKY generované počítačem Mozaiky jsou staré jako lidstvo samo Př. Fa ELAN (1972) Mozaiky jako součást ornamentální výzdoby prošly všemi slohy až po dnešek. Secesní ornamentikou se prakticky uzavírá dlouhý vývoj evropského ornamentu a někteří výtvarníci mluví o tom, že nastala krize ornamentu. Celá chyba 19. století je vtom, že se domnívalo, že všechna zásadní řešení tvarových problémů může najít už hotová v pokladnici historie. (...) Ornament znamená práci navíc. To je modernímu člověku cizí, a ještě cizejší je mu ornament primitivů, který má skrznaskrz náboženský a eroticko-symbolický význam a díky své primitivnosti hraničí s uměním. Čím hlouběji stojí nějaký národ, tím přebujelejší je jeho ornament a jeho šperk. (Adolf Loos: Řeči do prázdna, 1897-1900). Nikdy jsem neměl na mysli to, co puristé dohnali ad absurdum, že má být ornament systematicky a důsledně vyhlazen. Jenom tam, kde už jednou z historické nutnosti vymizel, není ho možno znovu uvést v život. Právě tak, jako se člověk nikdy nevrátí k tetování svého obličeje. (Adolf Loos později). (!?) Dekorace je ožehavá záležitost, ale čistý, jednoduchý „ornament" je jako znamení: Je to syntéza, výraz řádu. Dělat „ornament" je kategorická disciplina. (Le Corbusier: Mé dílo). Konjunktura dekoru: Proč se dneska široká fronta spotřebitelů zase vrací ke kytičkám, k výzdobě, k dekoru? Z mnoha důvodů. Především je čistý tvar sám o sobě nesmírně náročný pro výrobce i spotřebitele. (K. Pawek: Resopal - Forum). K úměrnosti dneška přes meziválečné Art Deco. 2 Př. 2 Nejde jen o fyzikální vlastnosti Matematikové se věnují mozaikám až ve 20. st., především na popud krystalografie. Symetrie, ať v širším nebo užším smyslu slova, je idea, pomocí níž se člověk odedávna snažil vysvětlit a vytvořit řád, krásu a dokonalost. (Hermann Weyl, 1952) Mezi starověkými dekorativními vzory jsou obsaženy všechny typy symetrického pokrytí roviny libovolnými obrazci. Je jich sedmnáct a znali je již staří Egypťané. Vrcholu dokonalosti dosáhli Maurové. Matematický důkaz podal až G. Pólya v r. 1924. Rus E. S. Fjodorov a Němec A. Schönfliesse odvodili všechny grupy symetrií v prostoru. Od té doby (1891) zná krystalografie 230 grup. Později matematikové rozšířili krystalografické grupy tak, že periodické opakování tvarů spojili s periodickým opakováním barev. Teorie polychromatické symetrie doplňuje 17 krystalografických grup o dalších 46 dvoubarevných, 6 trojbarevných, 6 čtyřbarevných a 3 šestibarevné. Matematikové dokázali, že existuje právě 1191 dvoubarevných prostorových grup. atd. MOZAIKA • několik úvodních pojmů li o metri e - kongruentni transformace, shodná zobrazeni v rovině: T. E2 -> E2 mi: Foru. Násobnost rotace n (n-fold rotational symmetri} rotace o Zit/n -! «Mt J B reflexe J Ĺ J*- "^ t£~>^j Typ 6: qdqdqd Klouzavá reflexe r,, t Typ 7: RRRRR Pouhá translace Poznámka: Translace je přítomná vždy! Vytváří pás vlysu. «<«« Vlys vytvoříme i 2 násobnou rotací a translací s reverzací barev (r'). Př. 3. Lidové pásové vzory domácí Horňácko #**Í4#*****> x^ixrxxix £*X#X#X£X ■&*<*•> <&> &n< crs- Čičmany ^® G?Ěr© (ö^Te) ^^^Cv^l^C^^TC^^^s^y^ ^>ASX> X XW A W SC*aKSfö9SSg Tak můžeme vytvořit další variace, např.: Type 2J {«v l/2,g,r', m/, mh', 1/2'} c?:x^íxíie: Type 3' {ít^, r', mT') Type 4' {mh.r', g'} mrjwTMA Type 5' {1/2, r'. 1/2") Pamatujme: Jde-li o vícebarevnou mozaiku a symetrie mají respektovat i barvy, pak se obsah grupy symetrií daného vzoru může podstatně změnit. TAPETOVÉ MOZAIKY - „složité" periodické pianami mozaiky Definiční podmínky trvají: Opakování složitého vzoru se děje pouho u translaci razítka (translacní jednotky) ve směru Fa 7 která je vhodným shlukem fundamentálních oblastí (dlaždic, ornamentů, motivů). Základní mřížky 2D mozaiky: rovnoběžní ková pravoúhlá kosočtverečná (2x) čtvercová hexagonálni ■-tg:: :-ig:: : • :.,rt :-q:: -.-cr. Hledáme grupu planárních symetrii, která popisuje mozaiku fundamentálni oblast translacní jednotku Postup k určení grup planárních symetrií (zkrácená krystalografická notace): ( 6 nás. symetrie? J ANO~7 \NE ( reflexe? ") ( 4 nás symetrie? ^ Celkem 17 grup symetrii! ANO /\ NE ANO/ \.NE '/\NE AMO/~ \H p6m p6 / reiiexe? ") (" 3näBsymetne?) ANO, { osy růflexe ve 4 směrech 4N0/\NE ANOy \HE ANfj/ \Jl rc1lfWß7 NE ANO*/ \ NĚ( dniha reflexe? )(jdouava reflexe?) (Ktsoctvefečna mŤ?) (jdou avá reflexe^ ptal pW wo/\neaho/\ne awo/\he ano/\ne ,^^^5) pmg pgg p2 cm pm w p! ANO / N^KE emm pmm ^z"- reflexe = zrcadlení poefle osy n-násobná symetrie = rotační symetrie Různé vzory budou tvořeny různými tvary translačních jednotek a fundamentálních oblastí: jj. .(Sjí, .js. ..,, ji. U> .^»|^|»í^,<£. ■»)&--<%. JJ*t Upravený algoritmus B. Sandersona pro rozpoznání grupy planárních symetrií !■>■ pm on F*« plm Př. Redukovaný „katalogový" list grupy planárních symetrií V. Ostromoukova (lit.). Grupa symetrií p6 ů Střed 2-násobné rotace A Střed 3-násobné rotace O Střed 6-násobné rotace 2-násobná rotace mezi fundarn. oblastmi 3-násobná rotace mezi fundarn. oblastmi í í í (c) Jednotka posunutí (d) Fundarn. oblast Lú (e) Relace mezi sousedními fundamentálními oblastmi Př 2. Mozaika s grupou p3 AA ymm *Sii•? vjj1 %•? víc vi? > ^^^- ,^T^r "^1^ ,^T^^r '^■^ ^^^^ ,^1^ vmimmjmjmmjmi Př1. Mozí I I ika s c jrupou p4 if m |F ffl [FJ TI F l^i F TI [Fl 1 1 1 L=i.l ■ ■ LL Ha Lál 6 H a ^ľ ľl] I I I M F -n [Fi íl F ■n; [Fj ti B al B d s a !iL ^J u-. U ^ H a Hl a [ "n ■ "n E '"i IF1 T| / -" B Iti 1F' :' I I I d e a w dl u_ 4d a h a ll'í T|; E g F i—f -i. i "": F 'H t a ÍF| ■n H 1 d ■ [i LL a S IdJ S- H *■ H ^ [ I 1 PI E =ň [Fj S[E TI B ti [Fl S E E idl 5ö [J m ďl ■ Idi BLl Jďl ll íďl u-1 [ 30 Př 3. Mozaika s grupou p6 Př 4. Mozaika s grupou mp6 Kompletně vyřešený problém (Victor Ostromoukhov 1998) Vstupní obraz (náčrt, foto) Matematický zápis Počítačem generovaný výstupní obraz Cayleyův diagram Translačni jednotka Fundamentální oblast .:C?^TV Do tapetových mozaik patří i většina mozaik M. C. Eschera. Escherovým mozaikám bude věnováno samostatné téma. Poznámka: Určení fundamentální oblasti a translačni jednotky (mřížky) není jednoznačné !!! Je-li více možností volíme „praktičtější" variantu ( př.nedělíme dlaždici). Staří Japonci znali všech 17 grup planárních symetrií (autor: Urabe). Bez rotací: p1, pg, pm, cm. S dvojnásobnou rotací, bez čtyřnásobné a šestinásobné rotace: p2, pgg, pmg, pmm, cmm. p4 (Rokuyata-K o shi) p4m (Sippo-Tsunagi) p4g pqpM (Sayagata) p3 p3ml p31m WW (Bisyamon-Kikko) (K as ane -Kikko -ni-Wa) Se čtyřnásobnou rotací: p4, p4g, p4m. S trojnásobnou rotací, bez rotace šestinásobné: p3, p3m1, p31m. S šestinásobnou rotací: p6, p6m pSm 9^'^1^'^0'í (Asanoha) Př. 6 Př. 5 Př. 7 Regulární polymorfní dělení roviny Připomeňme: Jen tři pravidelné mnohoúhelníky mohou úplně pokrýt rovinu r ~ i 8 Regulární izomorfní mozaika je výtvarně "chudobná" Kolik vzorů můžeme vytvořit? Vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka a= -n-~- 180° (n počet stran) Zvolené n-úhelníky mají společné vrcholy a součet vnitřních úhlů je 360? Př. Pro mozaiku tvořenou třemi n-úhelníky platí: nlr ns, n3, \ ■ 180° = 360° /ü!-2 . ru —2 , n3- 2 po úprave na II] ri-j n:1 2 podobně J_ + JL + ± + JL=i n, n2 n3 n4 1+JL+1+JL+JL+.L-2 n, ' n2 n3 n4 n5 nfl Polymorfní mozaika je bohatší - c£§fc.I A A A \/ \XaX Xľ ^i ^n 6 io ^r^# w 2 <á£ä M (značení dle následující tabulky) ^r Xj, 42 Vytvoříme tabulku variant: N? ni n2 n3 N? tij rij n3 n4 N? rii n2 n3 n4 ns na 1 2 3 4 3 12 12 4 6 12 4 8 8 6 6 6 5 6 7 8 3 3 4 12 3 3 6 6 3 4 4 6 4 4 4 4 9 10 11 3 3 3 4 4 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 ]6 Některé varianty nedovolují opakování vzoru a jsou vyloučeny. (3,7,42 3,8,24 3,9,18 atd.) Pokud dovolíme různé rozložení dlaždic ve společných vrcholech, vytvoříme semiregulární polymorfní mozaiky. 44 Semiregulární polymorfní mozaiky Závěr: izomorfní regulární 3 polymorfní regulární 7 semiregulární polymorfní 15 CELKEM 25 VARIANT Tetromina Základni množina obsahuje 5 dlaždic Reflexní množina užívá všech 7 dlaždic POLYMINOVE MOZAIKY Poznámka: Triomina zmíníme později n E testovací šachovnice (T má nestejný počet obou poli) Mozaiky letromina Mozaiky s kombinovanými dlaždicemi Některá spojení regulárních dlaždic vytvářejí dlaždice splňující podmínku „teselace". Př. T. H. O'Beirne spojil sedm rovnostranných trojúhelníků: (J. Bishop dokázal, že jen jedna dlaždice nevyhovuje podmínce.) Konstrukce mozaik vycházející z čtvercového motivu vytváří tzv. polyminové mozaiky. PENTOMINA Nepočítáme-li otáčení a zrcadlení, dostaneme 12 základních dlaždic. Abeceda pentomina je úplná, F I L N P T LZ3 ^J* «ŕ I v W X V Z dlaždice konstruujeme přemísťováním jediného čtverce. Poznámka: Z pěti kostek (krychlí sousedících nejméně jednou stěnou) lze konstruovat prostorová pentomina, která mají 29 základních 3D elementů - „dlaždic". Nekonečná regrese pentominových elementů: Každou dlaždici pentomina lze složit z 9 stejných dlaždic třetinové velikosti. C+jl ĽK I 3x2Q 4x15 Z 12 pentominových dlaždic lze složit čtyřúhelník. Př. Obdélník 6 x 10 lze složit v 2339 variantách. Viz program Güntera Albrechta Büchlera (http://pubweb.nvu.edu/~qbuechler/proqrams.htm). Matematika polymin - Solomon W. Golomb: Polyominoes, Charles ScribenerSons, NY, 1959. Neperiodické mozaiky Neperiodické mozaiky (nemají translační jednotku) ruší pravidelnost a proto jsou atraktivnější. Poznámka: Neperiodické mozaiky dovolují i periodickou verzi provedení! (není však typická) periodická neperiodická Kreace Güntera Albrechta Büchlera: PS >*><*' H WAmtnrUFT ÄflÉM SPIRÁLOVÁ DLÁŽDĚNI Voderbergovo neperiodické dláždění (1936-37) Dlaždici tvoří rovnoramenný trojúhelník zajímavých efektu docílíme modifikaci dlaždic př. (a) (h) (<■» «n M Varianty spirálového dláždění: ade- neperiodické ad e-periodické dvě možná přiřazení {'■> lb) W) otočeni křivky o 360°/2 otočeni křivky o 360°/n w? Příklad konstrukce (H. Voderberg, A. Glassner) Základem je rovnoramenný trojúhelník Vrcholový úhel = 360°/n n sudé číslo Př. n = 16 SPIRÁLOVÉ MOZAIKY JEDNODUŠŠÍ KONSTRUKCE Spirálové mozaiky z dlaždic získaných překrytím n-úhelníka (1978 - 1980) Paul Gailiunas je dělí do dvou základních skupin: Zubaté (hvězdicové) spirálové mozaiky Srpovitá dlaždice a její dílce (kosočtverce) úplně pokrývají rovinu. Dva způsoby přiložení tvoří totožné zuby. Počet startovních ramen je dán poměrem m = n/r, počet cípů spirály je n. Př. 1 Spirála o pěti ramenech z desetiúhelníka má deset cípů (zubů): 1 H-IV2-5 Př. 3 Modifikace kladení dlaždic dává další možnosti: Př. 2 Pětiramenná spirála z dvacetiúhelníka: Zavinuté spirály (méně zubaté) (Grunbaum a Shephard (1979)-Versatiles) Početvrcholů n je násobek šesti!!! Krátká strana dlaždice půlí kosočtverec, jehož úhel a = 60° Různé způsoby přikládání dlaždic dávají další možnosti. Př. 4 Šestiramenná spirála z třicetiúhelníka: Samostatnou skupinu tvoří „vnořené" dlaždice (Reptiles) a hierarchické dláždění Př. ZA S Omezíme-li počet vrcholů n-úhelníka na dvanáct, můžeme vytvořit další varianty. Př. 5 Jedna z mnoha variant versatilek - dvanáctiramenná spirála z dvanáctiúhelníka: Poznámka: Počty různých variant a mutací jsou matematicky dokazatelné. Poznámka: Vnořování (reptile) jako generátor spirál: Je řada dalších neperiodických vzorů: Hierarchické mozaiky jako přiklad neperiodických mozaik Rozkladová pravidla: Neperiodická mozaika z L dlaždic je vlastně fraktál (viz příslušné téma) Základní seskupení prvků a konstrukce mozaiky Proces bývá označován jako inflace Konec části 1.