APERIODICKÉ MOZAIKY
SHRNUTÍ: Máme neomezené množství dlaždic (motivů) a možnost neomezeným pokrýváním (dlážděním) roviny všemi směry vytvořit vzor (ornament, mozaiku).
Můžeme-li z vytvořeného vzoru vyjmout shluk sousedících dlaždic a tímto shlukem bez změny měřítka a bez otočení, pouhou translací, jako razítkem pokrýt (orazítkovat) celou rovinu, mluvíme o periodickém vzoru.
Pokud takový shluk nevytvoříme, mluvíme o vzoru neperiodickém. Většina dlaždic je schopna vytvářet vzory periodické i neperiodické.
Pokud dlaždice vytvářejí vzory pouze neperiodické (periodické uspořádání neexistuje), mluvíme o dlaždicích a vzorech a periodických.
Aperiodické vzory jsou výtvarně nejhodnotnější. Dovolují nejlepší balancování mezi pravidelným opakováním ornamentů a jejich nahodilým výskytem.
Existují aperiodické mozaiky?
Jaké bude nejmenší množství aperiodických dlaždic?
Odpověď hledají matematikové:
1961-     Hao Vang              Není aperiodických dlaždic!
1964 -      Robert Berger      Souborem 26 tisíc dlaždic (kostek domina V.) vytváří aperiodický vzor. Později tvoří aperiodický vzorek ze 104 dlaždic (Amman jde na 14). Donald Knuth       Tvoří aperiodický vzorek z 92 dlaždic. 1977-     Robert Ammann a Raphael Robinson Nezávisle tvoří aperiodický vzorek ze 6 dlaždic. 1974/88 - Roger Penrose     Začal se sadou 6 dlaždic, nakonec mu stačí 2 dlaždice!!!
Šest aperiodických dlaždic Roberta Ammanna
3
Šest aperiodických dlaždic Raphaela Robinsona
modul 3x3
9
Př. Tři vzory A. Glassnera
SE BE fflffl
Jr	ttr	:5"ř£
	r~"	—ho* — .
V	_*>.-	-.^.   ^ 0
		
w	m-	-5r:±
		—1--
ES HE fflS
modul 7x7
Editor dlaždic a generátor aperiodické mozaiky P. Láníčka ( DP VUT 2002)
okno editoru dlaždice
okno prohlížeče
Jfljx]
C Robinsonovy dlaždice
* ämmännovy dlaždicej
Další dlaždice
Editovat dlaždici

Okno generátoru
Recreational mathematics?
That's right - recreational math; the passion of Sir Roger Penrose who was recently knighted for his outstanding contributions to mathematics.
Roger Penrose, a professor of mathematics at the University of Oxford in England, pursues an active interest in recreational mathematics which he shared with his father. While most of his work pertains to relativity theory and quantum physics, he is fascinated with a field of geometry known as tessellation, the covering of a surface with tiles of prescribed shapes.
In http://www.wOTldofescher.com/misc/penrosĽ.html
Př.   Dva vzory P. Láníčka (inspirované A. Glassnerem)

Šestice dlaždic  (R.Penrose 1974)
rozkladová pravidla 1
A
t^O
Y^
rozkladová pravidla 2
skládací pravidla
OS
\_rVj
Ostré a tupé trojúhelníky
		36° =  TT rad
		5
1	/^V\  i	72° =2 TT rad 5
	*-i\3Ě x^	108°=3tt rad 5
/3Ě°	72°\l08°  3£°\	
	1                 <í>-1	
	<p	
NIC NOVÉHO POD SLUNCEM!
Pythagorův pentagram
<f> = (1 + %/5)/2
Šipky a draci Rogera Penrose (Darts and Kites - 1977)
Geometrie dlaždic
Poměr zlatého řezu i> = 1.68,   6 = 36'
Drobení dlaždic
Výsledné vzory
Startovací obrazce A. Glassnera
ů   ««rol Ol. u*ü40rj
t    KpoUWJJ. I   - ĽMftxín ."        t:r]r.l-t.|l 7*Mřr>i.i
g   Kam/nu.« n-umflw
Ma
»,.c.
j   *.n
*	»■í
.',	ft t)
í"	ftt*U
i	(*Wíťltg.i-l3ťHr|i>
i	íu-iľ-.si i    L^,]'.b:.,
t    (HHSiirVl.í 4-£«ítiŮ.)|	
c	(TwWiOl.* 4- | * u^imiírii
^	A,.!-
'  w	
J   v-	
H	Ví>
Qu« n	Kki(	
*    (*fl	*	Ď»."!»
* m«	í	Al]
í   [Mi-fl	c	ťH+4
D    * L«mm \Q). dnfitfl Pír	D	iM-tt-il      .nvL'Sil
E     b i|ímlí*j-H)|, nH.-HŕlíJŕ	L	n- r. í, ♦ ,*t3.|3LlC)|      r«.,. M  ► ,Jj ^^■lí;.||
f    iví|l-umínil). »	J	ÍDHKťlít. J + UfÜH 19)}
r,    H t »J Jw líý. *| I  ► unilĽidlni	c	Hu^fjO;.. [t-ít uv<ailíQ|
h ^m	H	tjt);
J    JUQ	J	V*
ŕ   v>	J	v*
<    */Q	'	VO
* I  » ť-tíM-HÄTS),
rr -  i  ■ sř - 7.f roKíi.iJ.
0    Hr«{4 leQ.ihHťlvJh
^■.
r*.-D-[C^Orl.rfMniVŮ>-(-^ů|JJ-

*	(u;
n	i*.»)
C	ÍM**)
D	♦ ^oííííj'IDi.^^'iDi;,
[	A[«rtlnŕ|(rLun[iri[qf
r	^cwí^'Ut.» + H*KťlĎB
í	JmfeUQfct** 'HHiVJW
'H	V D.
J          VŮ	
j    WI	
«	V*
Geometrie tenkého a tlustého kosočtverce
Kosočtverce Rogera Penrose
Atlas startovacích shluků
v
Drobení kosočtverců
$
If
Př. Aperiodická mozaika získaná de Bruijnovou projekcí vícerozměrného prostoru
Obousměrná konverze dlaždic Penrose
Implementační pomůcky
Drobeni ornamentů na pomocné trojúhelníky
14
Soběpodobné dláždění vzniklé projekcí (D. J. Wright)
V osmdesátých letech de Bruijn studoval pohledy na mříž Z " uvnitř R " z různých úhlů.
Ať pro rovinu 2D mříž Z' sestává z vrcholů jednotkového čtverce, pro prostor 3D tvoří TLl vrcholy jednotkových krychlí atd.
Uvnitř R " vytvoříme podprostor E menší dimenze pomocí stěn Z "takto:
Mějme jednotkovou «-krychli (hyperkostku) C centrovanou v bodě patřícím £. Definujme číslo d jako nejvzdálenější vrchol C od E. Ať Ä je oblast bodů v R " vzdálených nanejvýš o d od E. Uvnitř R " budou vrcholy, hrany, stěny atd. mříže TL ". Tato struktura (síť) vytvoří "hrbatou" funkci FzE.
Př. pro mříž 2' je £ přímka uvnitř R ■
Poznámka:
Jde o ortogonální projekci bodů  x e R "
zapsanou lineární mapou:
P(dXj + CjXj) = CíP^Xi) + CiP(x,))
Hledali jsme body na £ nejbližší bodům x. Projekci pak aplikujeme na F. Respektujeme sled (cestu) vrcholů, stran a ploch a získáme dláždění £.
16
A   V
Př.
Dělení pro sklon 5/3 - periodické                          Dělení pro sklon     „zlatý řez" 8/5 - aperiodické
17
Příklady LS zápisu aperiodické mozaiky R. Penrose (Fractint - Philippe Hurbain)
Kosočtverce
{
Angle 10                                                                                                       tih^hm**
.       ■                                                                                                                                                                                                                                                             *-ľ i:Ivii- ■
Axiom x x=@.618034+frivl--frixin+@.618034q@i.618034x]
-Mf--[y]f
y=@.618034++[x]f|+f[|y]-[y]f|+f[|x]
f=g
>
Poznámka: x generuje tlusté kosočtverce,
y generuje tenké kosočtverce, 0.618034 = (V5-1)/2.
Šipky a draci
{ Angle 10
Axiom k
k=+[@.618034a]f@.618034—[-k]f-f— [-k]@i.618034f [@.618034|a]
a=[@.618034k]+f@.618034[|a]—-f+f—-[a]@i.618034f
f=g
>
Poznámka: k generuje draky, a generuje šipky.
19
Poznámka: Připomeňme rastrování úsečky Alternativní způsob rastrování k metodě Bresenhama ( Hledáme „vzorek" opakování směrů S a D. Př. Vzorek úsečky ((0,0), (131,16)) S4D(S7D)4S2D(S7D)				1961 -65, 5S8D(S7D)4S					f(x,y) = e => min ) 4 po extrapolaci S4D ... i			
												
												_L^^
										fi	1	■F
				I			J	•	1			Ti
				i	*	1						
-		1	t			1						1 i
^1						1						18
Generátor a editor aperiodických mozaik R. Penrose - autor M Sada dlaždic P1		Žídek(DPVUT	2002)
	^ File    Edit    View    Window    Help	^Jfljxj	
	I d BŕH|[^"siiHi[írK ra|^rioiiťi[^rriA|*i|Fi 11		
			
			20
Sada dlaždic P2
l^^l^|pi[^P3|^riO'>iť ii^iti a i m i r? ľ
Aperiodické vzory ve 3D Př. 1.
Sada dlaždic P3
pďc sj^ g P1P2P3 jro^ » <?■! a m r* t
Př. 2.
Nekorektní zvětšování vzoru
Dekagen Petry Gummeltove a jeho pet překrytí (19&6) „Slepování" startovacích shluků bez překrytí je neproveditelné.                    /~~^^&\       ' &^.~         '".Hľ"''
.loonrj n Stcinhnrclt nnšli jiný shtuk 3 Jahn překrýváni (1997)
Poznám/ca:
Velkou skupinu aperiodických mozaik vytvářejí struktury materiálů pozorované v Roentgenově záření tzv. kvazikrystaly.
ESCHEROVY MOZAIKY
Maurits Cornelius Escher
se narodil 17. června 1898 v Leeuwardenu v Nizozemí. Jeho otec, civilní inženýr, se rozhodl poslat syna studovat na Školu architektury a dekorativních umění v Haarlemu. Escher však měl větší zálibu v grafických uměních a v 21 letech studia architektury zanechal.
Strávil mnoho let cestováním po Evropě a jeho zájem o grafiku neustále rostl. V roce 1921, kdy žil v Římě, se oženil. Jeho práce byly tehdy zaměřeny na krajiny, přičemž využíval různých nereálných perspektiv.
Ve třicátých letech žil i se svou rodinou ve Švýcarsku. V roce 1936 podnikl důležitou cestu do Alhambry v Granadě ve Španělsku. Maurské dlaždice jej natolik fascinovaly, že si po návratu přečetl Pólyův článek zabývající se problematikou grup rovinných symetrii. „Po svém" porozuměl 17 grupám symetrií a v období mezi lety 1936 až 1942 vyrobil 43 barevných kreseb založených na pravidelně se opakujících vzorech. Systematicky si dělal poznámky v notaci, kterou sám vytvořil.
V roce 1941 se vrátil zpět do Nizozemí, poté, co strávil nějaký čas v Belgii. Jeho proslulost pomalu rostla a v padesátých letech se začaly objevovat články o jeho díle. Práce však byly vystavovány spíše ve vědeckých muzeích než v uměleckých galeriích. V roce 1958 publikoval dílo Regular Division of the Plane, kde seznámil veřejnost s výsledky své celoživotní práce.
Ke konci života se Escher uzavřel do sebe, měl málo přátel a jeho duševní svět se zhroutil. Zemřel po dlouhé nemoci 27. března 1972 v Laren v Nizozemí.
27
3   % +
Př. Kolorovaná struktura kvazikrystalu:
.OeS--«SfElJ \i*H Ent(*UM.TSř »UKVflipÉnm,
Escherovy mozaiky
Zdroj:
Doris Schattschneider:
Visions of Symmetry
W. H. Freeman and Comp.
New York 1990
■RF&ELMMiGE VLAKVERDELING.
i-i'-.s Wdken;Pi<
v«ľttttvi.ň.nj«« ji jiř-.r jřkig.    •*F)dl»WLri(Im(r>cn jliJM^tUng
Escher nebyl první:
Koloman Moser: kolem r. 1900
5S8.  Eadrtftug, CnltouTf für
Ei fit rr i, bon ŕsícmtr, SFIojíT.
Příklad:    Vzorll'
Vzor obsahuje
1 translaci, 6 rotací.
r	*	m ►
6 středů rotací
1 translace
Dvoubarevné zámkové vzory M. C. Eschera
Escher uvádí 9 systémů transformaci (I - IX},
které definují přirazení dlaždic (motivů) na pravidelných mřížkách-
Notace mřížek:
A rovnoběžník, B kosočtverec, C obdélník, D čtverec.
Vytváří celkem 24 efektních dvoubarevných vzorů.
Typická Escherova kreace:
Poznámka:
Escherova tvorba byla daleko širší, vždy však vycházela z geometrických základů.
rm^m-
mm?<m
m«8?m
m^m^mfirpm
Příklad:   Vzor IB
Vzor obsahuje čtyři translace. 2 příčné a 2 diagonální
základní motiv (mřížka)
modifikovaný motiv (po modifikaci stran)
modifikovaný motiv s okolím
V následujících ukázkách použijeme i notaci německého matematika H. Heescheho.
(viz. TESSELMANIA)
Notace transformací dle Heinricha Heescheho
iL
Translace
i.
M
_£t.
G1G2G1G2
iL
A
TTTT
^
Rotace
c ccc
Jl
i
Klouzavá reflexe

TCTC
3f
^
C4C4C4C4
í*
Indexy rotacis: (i-foki rotation):
kolem slš'íŕtíu ľiíraijy
C =180=
kolem vrcholu
C3=120° C4= 90° C6= 60°
ÍL
4
C
GCGC
FoLrrifqijliiti tuhiilk;.
Symetrie/ třída	Smery translací	Pučet, středy a násobnosti rotací	Smíry Wouiavýťh »flexi	11. Utes c ho/krysí.
Vlil D,C		čtyFi 2nás. rotace ve vrcholech.	v obou příčných směrech.	G1G2G1G2
IX D		dví 4nás. rotace ve vrcholech Ha L. I. I!: l: I'. I' l ■. ůvě 2nás. rotace ve vrcholech na diagonále		pozn. čtvrtiny čtverec
X E		li i 4nás. rotace ve vrcholech, jedna 2riás. ve středu přepony		
Ľícheruvo urna cení mriäwk:
A       rovnoběžník B       kosočtverec C      obdélník D       čtverec
E       rovnorameimý pravoúhlý trojúhelník (čtyři motivy vytvářejí čtverec) 1. Uvedené mozaiky neobsahuje horizontální ani vertikálni reflexe, ani 3násobné rotace. Násobností rotace rozumíme počet otočení motivu do celé otáčky (2TÍ).
Připomeňme: Escher nevyužil všech 17 grup symetrií, některé použil opakovaně.
M. C Escher (IL Heesche, krystalografie)
klasifikace dvoubarevné mozaiky s jedním mativem na čtyŕúhelníkové mřížce
Symetrie/ třídí	Směry translací            Počet* stredy a násubnosli rotací		Smčry klouxavych refleri      j H, Hec.tche/krysL	
A, Bh Ct D	v obou příčných směrechh v Ahou diagonálních směrech		TTTT	
IT A, B, C, D	v jednom příčném směru	čtyři 2nás- rotace ve vrcholech, dvČ 2nás. rotace v polovinách paralelních stran		TCTC
III Ah B, Ch D IV B, D	v obou diagonálních směrech	čtyři 2nás. rotace v polovinách všech stran		CCCC
	v obou diagonálních směrech		v obou příčných smčrech	Ol Gl 02G2
V	v jednom příčném smeru		v jednom příčním smčru, v obou diagonálních směrech	GTGT
VI B, D	v jednom diagonálním směru	dví 2uas. rotace v polovinách sousedních stran	v jednom diagonálním směru, v obou příčných smčrech, ale jen u sban be7 středů rotace	GGCC
VII CD		dvč Znáš., rotace v polovinách        v jednom příčném směru^ paralelních stran               ,   v obou diagonálních smčrech 1		GCGC
34
Př. Mozaika lD, TTTT, p1
36
Př. Mozaika lllc, CCCC, p2
Q
říj          i    *  ^ö     '    \    s W           \    * ^n
5\ *     V           (?\ *    V___    wV *    V.___t?l *
?\ »     \_      ^i *     \_      (?i *    \___    C°\ *
\__     c^ «    V__     w^. *   \         w\ •   \
Př. Mozaika C4C4C4C4, p4
ra
Př. Mozaika VlB, CCGG, pgg
I
<£>
^l
Př. Mozaika   G1G1G2G2, pg
/
o    <s,  $?, &.
"Trojúhelníkové" mozaiky M, C. Eschera
mutace trojúhelníkové mřížky
Dáleni trojúhelníkových mřížek:
A pouze 3nás. rotace ve vrcholech
B eriŕis., 3nás. ve vrcholech, 2nás. v polovonách stran
C  pouze centrální rotace
Mozaiky jsou typicky troj barevné a symetrie neobsahují translace ani kioustavé reflexe.
Př. notace       system
MM
__. počet barev
poíet rnoltvú
další možné děleni
Př. Mozaika C3C3C3C3C3C3, p3
Trojúhelníková mozaika C C C
N  N  N N \] N A A A A A A
N N N N N N A A A A A Z
N    ZN    Z\T^
N    Z\    ZN    A
N    ZN    ZN    A
N    zN    ZN    A
Ještě dvě Escherovy mozaikové kreace:
M. C. Esc her variace motivu
□ □EH  ;;
12                   3                  4
l_J ľz La £
barevné vyplňováni
vytváří dilĚi a fakty
Stuhové mozaiky M. C. Eschera.
Základem je čtvercová dlaždice s dezénem (motivem) prokládaných pruhů
		
		
\\		/
K dispozici je 8 poloh dlaždic pro každé proložení pruhů.
Escher použil 2 proložení:
Polohy dlaždic očísloval 1-16.
VC 31AÍ 5 S^^Pj
Př. 1. Realizace vzorku ve 2D a 3D
flFt JPt flŕt JT* flPi
Klad dlaždic volí tak, aby pruhy navazovaly a vybarvoval je tak, aby vytvářely stuhu. Základní kombinaci poloh zapisoval do čtvercové matice a tuto ve vzoru opakoval.
Základní kombinace (2x2)
vzor s opakováním
#WT #WT #WT
r ynN' "/ON'' yn^T r yijM' vnMf vi^^ *
Př. 2. Realizace textury filtrací vzorku - reliéf
•;'*>'<Ív>Vy
V W VT-5 W VU V V W '
y Ky'• r y• C y - Cy'- C y '- C y '• Cy • C y'- C y '• c >Cy-Cy-CyVCy-Cy-Cy>Cy'-Cy-Cy-Cy
iky-Cy-cy fe'.Cy'.Cy'K ÍCvKy'.Cy
^CyVcyVcy
^'/cy'/cy'/c
yVCyVcy
^.Cy'^CyH
icy^cyvcy
^Cy^Cy-C
tCy-Cy-Cy
''/c y'/c y'A
y'.CyVCy
Okno programu GES2 T. Piliera (viz praktická cvičení z VI)
rum   :ié-j'.   iiiL*,r   OfQSMi   m» Matró sija?-m p- y p"		^^^                                                                              s^^^
c Validity                     ÍCM/ICU Tfll validity. Valid. Color validnv Valid Imrtura      qnd     T TuTluru liík  ŕ8D x ESO lmnq.it si™- &n? x 7IH Randiřmiíi:           1M5aJfln		
	rf        C*rl     1^^	
	-       Zátt2    11	
	Zátt2    | |	
	Ľdtíí     1 I	
	E         C(lw5     Ifl	
	C(*wG     | |	
	C(*w7     | |	
	CtfWŮ     | |	
	C*fS    II	
	D       frOlC   ||	
		
Kayloc 3i<witfí       KwOfn mfOly                 H-irrien cítení		
Hierarchické čtvercové mozaiky
Čtvercový motiv (dlaždici) můžeme umístit ve čtvercové síti v osmi polohách:
L	r1	■-J	j
nJ	1	r	u
Kombinací čtyř a dvou
motivů vytvoříme nové
dlaždice
(viz. A. Glassner),
Kombinace označíme jako a,b,c,A,B,C,D,E.
(kvazikrystalografická notace, dle obsažených symetrií)
r1	1	1	r	r	T.
L	h-i	L	j	L	J
a L	(pi) r	B  ( L	)2mg) J	c (p L	Zmm) 1	r	JE
						L	L
A (hglrefK)
B (pm)
C (12)
D (refft1)
E (PS)
Escheruv motiv pravoúhlého trojúhelníka 3:4:5
př. motivu
Postupně vytvoříme hierarchie h.
pr:
r1	1	r*	1		r1	•-j	j	1		r	i
L	.=)	L	nJ		"-j	r1	i	J			
r1	1	t-1	1		r	L	r^	^		L	j
L	nJ	L	nJ		L	r	^	h-J			
Celkový efekt vzoru je dán volbou hierarchie a volbou dezénu dlaždice.
Př. 1. ( J. Bokor)
I"!
h=b,a,a,b
Př. 2. Vybarvená mozaika s dlaždicí podle S. Trucheta (1727)
Př. 4. Textura 2, vytvořená z hierarchické mozaiky filtrací LIC
"i*
Př. 3. Textura 1, vytvořená z hierarchické mozaiky filtrací LIC
%     r     ;;■■■
«' =šVl
h=A,D,a,a,a     54
Př. 5. Dekorativní mozaika   ( h = B,a,a,a )
Př. 6.    A. Glassner's Notebook, IEEE CGA, July/August 2000 (viz atraktivní motivy):
57
Geometrie islámských hvězdicových vzorů
Roger Calois ve své zobecněné estetice říká, že výtvarník umí vytvořit esteticky hodnotná díla jak kopírováním přírody, tak abstraktní spekulací.
Islámské mozaiky jsou toho dobrým příkladem, i když ornamentika byla ceněna méně než kaligrafie, ale daleko více než malba a kresba.
Designer M. C. Escher při své návštěvě Granady byl těmito vzory natolik inspirován, že na mozaikách postavil podstatnou část svého díla.
Islámským mozaikám se věnovali četní matematicky orientovaní badatelé : E. H. Hankin 1925,   B. Grunbaum a G. C. Shephard 1992,   A. K. Dewdney 1993, El Said 1993,   A.J. Lee 1995,    V. Ostromoukhov 1999,    C. S. Kaplan 2000, a další.
Islámské vzory tvoří část tématu Mozaiky v předmětu Výtvarná informatika, který je již sedm let pěstován na Fakultě informatiky Masarykovy univerzity v Brně.
Mezi islámskými vzory tvoří významné místo tzv.hvězdicové mozaiky - periodické mozaiky s výraznými růžicovými motivy.
59
Okno programu J. Bokora - Generátor hierarchických mozaik v 2
mísa
M		1£3£y&£5^JF5^1£y5^1£^
Iva»		iP^^^T^
FľlVKIŕ-V ZiSÜrfl ta       d		
liP		^CmCtxJixWcíxWcíxJ
pH     p»		SEI
r^		
		
		
		
Analýza hvězdicových vzorů
Hvězdicové vzory jsou periodické a proto pro jejich analýzu vyhoví Instrumentarium opřené
o grupy symetrií.
Hledáme symetrie, fundamentální oblasti, translační jednotky vzoru.
Mozaiku definuje grupa symetrií.
Rekonstrukce mozaiky p6mm (resp. p6m) pro zopakování:
Prověrka:
Grupa Symetrií p6mm  podle V. Qslrumoukhova
■osa reflexe
osa klouzavé1 reflexe
4       střetl 2nás. rotace
A       ?iřed 3nás. rota«
a
3
fundamentálni oblast
ralacA maz i fundamentálními oblasfmi
translační jednotka
Design hvězdicových vzorů - pomocné konstrukce
Ve středověku přísně střežené tajemství.
Abul Wafa Buzjani (polyhistor) - tři soustředné čtverce a, b, c:
Podobné vzory:
Granada 9.-15. stol.
Káhira (Heluan) 20. stol.
VÍ póm'-"
ÄÍÄkí
El Said uvádí podobnou pomocnou konstrukci
Duální geometrie vzoru a) Mozaika p4m
Ní
n,   na
b) Polymorfní regulární mozaika 4-8-8 (var. 3)
X' ^x
-------              A       y\       /v       /\
3    12    12
4        6     12   Varieta tří n-úhelníků polymorfní mozaiky je vymezena součtem úhlů 4      g       %   ve společném vrcholu.
Konstrukce vychází z regulárního n-úhelníka, do kterého je vepisován obrazec (hvězdice, růžice).
Př. Konstrukce růžice n =8
Vytvoříme pravidelný n-úhelník. Označíme středy sousedních stran B1,B2.
Určíme bod C jako průsečík spojnice bodů B1, B2 a osy úhlu OAB2.
Bodem C vedeme rovnoběžku se spojnicí bodů 0,B2 a symetricky získáme bod D (cíp vnitřní hvězdy).
Dotvoříme růžici (dle symetrie).
Tvar růžice lze modifikovat posouváním bodu C po ose úhlu DAB2 (Da B2 jsou pivoty) dostaneme varietu růžic.
Leeova konstrukce růžice
Konstrukce vychází z regulárního n-úhelníka, do kterého je vepisován obrazec (hvězdice, růžice) symetrie typu d, obsahující všechny symetrie výchozího n-úhelníka.
Pro konstruovanou hvězdici typu (n/d) bude platit, že d<n/2. Regulární n-úhelník je (n/1). Lee předpokládá « > 5.
Př. Šest možností osmicípé hvězdy a tři celočíselné hodnoty d:
OööO##
(8/1 ]1               (8/2)1                 (8/2)2                  (8/3)1                (8/3)2                (8/3)3
Poznámka:
Kaplan rozšiřuje konstrukci na d, které je libovolné reálné číslo v intervalu [l,n/2).
66
Prodloužením stran růžice vně n-úhelníka dostaneme „rozšířenou růžici" sahající do čtverce (!!!).
A.J. Lee konstruuje islámské mozaiky pomocí růžic (resp. hvězdic) vkládaných do sítě tvořené regulární polymorfní mozaikou a dotvořením vzoru expanzí vně růžice.
68
Vyplnění polymorfní sítě růžicemi Př.   Síť osmiúhelníků a čtverců
a)
protažení stran růžice vně n-úhelníka
vymazání polymorfní sítě
b)
c)
Příklad var. 1:
Příklad var. 2:
!%?,V*%M£;gW


*5frS?&w**éi
ť   iľ^. irTi «rf*^   M   /F^» rríi wí*^Ä   JA   /F^ rríi w
Kaplanův program TAPRAT S
fclHWPWHUM'BHWIIBIMMBIIW!
Taprats
ü	Nami. cslJS Dpi-iľ.UllF!!!-.
	H -r*> inurjj Lmi- Inn IriSnC fofr. d«V«l fr(Ti ** «v tfrq im lijje- 5 J|MlŮ üpxfc-vjTi srd ^■i.yij.l l-liiti4li^taO>tŕT4HMJíj:
«                                                    Dp«)                                                   »	
fittp:ríwww.c;s.washirigtori.eduihumeäcsWtapratsŕ
Výtvarné dokončení po vymazání pomocných čar:
Několik mříží pro ukázku:
m

mm    Mm Rl
Doris Schattschneider: Přehled 14 typů konvexních pětiúhelníků
Historický vývoj: Typ 1-5 K.Reinhardt 1918.   Typ 6-8 R. B. Kershner 1968.
Typ 10 R. James 1975. Typ 9, 11-13 M.Rice 1976-1977.   Typ 14 R. Stein 1985.
m
XXJ
m
Typ 1 :D + E=180
Typ2:C + E=180,a = d
7<
T<
?c
ac
A
M
y1
>>-
Několik jiných způsobů konstrukce mozaik
Provokující pětiúhelníky                                        S trojúhelníky a čtyřúhelníky nejsou potíže.
^
Co nepravidelné pětiúhelníky? Jsou? Kolik je druhů (typů)?
Matematici hledají různými cestami tvarové modifikace pětiúhelníkových dlaždic.
Pravidelné pětiúhelníky „neteselují"
značení:              A
2D+C=360"                      a
2E+B=360° f2A+B+C=36CP)
a=b=c=d
Typ 3: A=C = D=120, a = b, d=c + e
Typ 4 : A = C = 90, a = b, c = d
Typ 7 : 2B + C = 360, 2D + A = 360, a = b = c = d
Typ 8 : 2A + B = 360, 2D + C = 360, a = b = c = d
Typ 9 : 2E + B = 360, 2D + C = 360, a = b = c = d
Typ 10 : E = 90, A+ D = 180,2B - D = 180, 2C + D = 360, a = e = b + d
Typ 11 : A = 90, C + E = 180, 2B + C = 360, d = e = 2a + c
Typ 12 : A = 90, C + E = 180, 2B + C = 360,2a = c + e = d
Typ 13
Typ 2
Typ 2
Typ 13 : A = C = 90, 2B = 2E = 360 - D, c = d, 2c = e
Typ 14 : D = 90, 2E + A = 360, C + A=180,B+D + E = 360, 2e = 2c = a
„Amatér Marjorie Rice"
e       2E+B=2D+C=3ÓG° a=b=c=d
Typ1
Typ9
Pětiúhelníková rozeta:
'"■K^.-te-'.-s:
Mozaiky založené na planimetrických větách Dva speciální prípady vety A. Barlottiho:
Baríottiho věta
Nad stranami afinne-regulúmiho »-úhelníka sestrojme vně nebo dovnitř pravidelné n- úhelníky. Potom středy pravidelných n-úhelníků tvoři pravidelný n-úhelník.
\-ú Mělníkem je trojúhelník;
Věta Napoleonova (Ch. J. Scriba 1980)
[\-úhelníkem je člyřúhelmk:
Veta V, Thébaultova 1937 (K, ľetr 1905).
Prvou včtu použil M. C. Escher(J. F. Rigby 1991), druhou Pavel Pech (1998)
Př.
Escherova věta:
1.  Nechť ABC je rovnostranný trojúhelník a E libovolný bod Sestrojme bod F tak aby \AF\ = \AE\   a    Z.FAE = 120' . Dále sestrojme bod D, pro který platí \BD\=\BF\ a ZDBF=120\ Potom \CE\=\CD\ a Z£CD=120".
2. Shodnými šestiúhelníky AFBDCE lze pokryl rovinu. B. Přímky AD, BE a CF se prolínají v jednom bodě.
86
Pavel PECH:    Můžeme též vyslovit obdobu Escherovy věty:
l. Je dán čtverec EFGH a bod A. Sestrojme bod B tak, že platí \AE\~\EB\  a  ZAEB= 90*. Dále postupně  sestrojme   body  C  a  D,  pro  něž platí      \BF\ = \FC\, ZBFC = 90* a \CG\ = \GD\, ZCGD= 90°. Potom \DH\ = \HA\ a ZDHA = 90'.
2.  Shodné osmiúhelníky ÁEBFCGDH pokrývají rovinu.
3.    Spojnice protilehlých vrcholů osmiúhelníka ÁEBFCGDH se protínají v jednom bodě ve středu rovnoběžníka ABCD.
88
Několik příkladů:
<^A^4> OH
4-3                                   Í-3
4\     §H
7-6
A @@®$^A  ^   *
v
!;,-S
!',-J
V
V,-12
Členěné dláždění (dissection tilling)
Wallace - Bolyai - Gerweinův teorém:
Dva libovolné mnohoúhelníky (nebo skupinu mnohoúhelníků) o stejné ploše (obsahu) můžeme rozdělit na menší mnohoúhelníky, ze kterých lze složit oba původní obrazce.
Z tohoto podnětného teorému vyšly další zajímavé studie. Např. Laczkovich dokázal, že každý rovinný obrazec ohraničený hladkou křivkou můžeme rozčlenit tak, že z dílků lze složit čtverec (kružnici lze přeměnit ve čtverec rozdělením na cca 1050 dílků).
Převod není jednoznačný a je charakterizován počtem dělení. Řada geometrů hledala nejmenší možný počet dělení pro převod mnohoúhelníků. Např. G. Theobald (Frederickson 1997) našel nejmenší dělení pro konvexní n-úhelníky , kde n= 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 a 12:
Každý n-úhelník lze převést na čtverec, který může být translační jednotkou (razítkem) mozaiky.
90
Zajímavější mozaiky dostaneme, vyjdeme-li z několika vstupních n-úhelníků a dílků po dělení. Úloha je opět nejednoznačná a charakterizuje ji číslo k, poměr počtu dílků k počtu polygonů.
Př. Dva pětiúhelníky mohou být rozděleny na tři díly, k= 1,5.
Z dílků lze vytvořit razítko:
Výtvarně lepších výsledků docílíme s různými vstupními mnohoúhelníky a jejích dílky.
Frekvence dílku v mozaice ať odpovídá ploše dílku!
DaBÍ pf i klady:
*&> o<s>
Mozaika Davida Eppsteina pouzivá členěni z knihy Grunbauma a Shepharda
Označeni ht&zdy #3              0        i