Modulární mozaikové vzory Modul je vytvářen spojením několika dlaždic s jednoduchým motivem.
S. Truchet (1657 -1729)
Dlaždice Trucheta má extrémně jednoduchý motiv a přesto vytváří bohaté vzory.
V roce 1976 přichází S. H. Cullinane s teorií kosočtverce, který zajímal pro svoji bohatost symetrií již Platona.
Platonův kosočtverec
5°H™nya   Diamond Theory
Sleven H. Cullinine
Teorie kosočtverce se stává základem pro řešení řady úloh.

ŕä®»&S585SSSSS»S!Sífc
HCÉHHQF i<t*K*
Takové vzory jsou známé z různých částí světa již z doby predhistoricke (viz Jablan).
TI
3 ffl ř^^
krinririrrrrrrrriii íkit it 1J1
^^
n^üü
SDZQEQ
WBB
jr jŕjr jrljrjr jŕjŕ
miimlkikikikilik^kikik r jr jr jrj
h333333j   Jrzur
-jrik^rikjr^k
jr <k <r <k <r «k"*
r jŕ ^ j> ^ŕ   j» íl
r jŕ  ^ŕ j)  ^ŕ  j» íl
jr <k <r <k <r <k^
mmL
KVq
KsaSsCr
Hledáme vhodný algoritmus pro generování modulů.
rffiri™
Generování modulů transpozicí
Základem je Platonův kosočtverec, resp. matice 2x2 dlaždic s diagonálním motivem
Permutace
transpozicí
čtverců
vytvoří
24 modulů.
□ ♦«>r>2
%k9kV«V XM«Ä<k<
Permutace matice 4x4 jsou bohatší, protože jsou dány 18 možnými transpozicemi řádků, sloupců a kvadrantů základního vzoru.
Základní vzor
Transpozice:
H H H
►♦<
±m iiiii
_
Dgfqd

ľ t
a
__
Permutace v matici 4x4 vytvářejí 322 560 modulů.
Př. Modul sekvence gfqd
Algoritmy geometrických substitucí (A. Glassner a další)
Substituce klonováním   nahrazuje vstupní geometrický objekt (př. n-úhelník) jedním nebo
více objekty - primitivy, které jsou geometricky podobné vstupnímu objektu.
Substituce mutací nahrazuje vstupní objekt geometrickým objektem jiného typu. Nový (výstupní) tvar není nutně podobný vstupnímu tvaru.
Substituční pravidla (primitivy)
Substituční pravidla určují geometrii výstupního mnohoúhelníka P' jako funkci vstupního mnohoúhelníka P. Současně definují „mrtvé a živé oblasti" a orientaci mapování.
Mapování primitiva do cílového trojúhelníku i s trojúhelníky obsaženými v primitivu.
Mozaiky konstruované geometrickou substitucí
Geometrickou substitucí budeme rozumět nahrazení geometrického primitivního prvku jinými geometrickými primitivy.
Stást. i.
Jednoduchá substituce:
Algoritmy -funkce pro konstrukci substitučních pravidel
Konstrukce vycházejí z vrcholů cílového n-úhelníka:
Pro každý vrchol Ví existuje jeho předchůdce VM a následník Vm ,podle dohodnutého pořadí.
Vytvoření nového vrcholu na hraně (resp. na straně ve 2D) - funkce EV()
Funkce EV (edge-vertex) určuje umístění nového vrcholu Vai na hraně n-úhelníka
na základě dvou sousedních vrcholů Ví, Vm a koeficientu a.
Koeficient a je skalární hodnota v intervalu   <0,1 >.
Vstup : vrchol Ví, vrchol Vm, koeficient a.
Výstup : nový vrchol Vai
Vai = EV(V|, VM> a)
EV(V|, VM> a) = (<xVM) + ((1 - a)V,)
Př. Pro a = 0,5
EV(V|, Vm, 0,5 ) = (0,5VM) + ((1 - 0,5)V|)
> nový vrchol půlí hranu.
Při definici n-úhelníků pomocí funkce EV bude záležet na volbě pořadí vrcholů (první dva parametry funkce).
EV(Vi, Vm, a) = (<xVm) + ((1 - a)Vi)
Příklad: a = 0.25, 0,5, 0,75
AAA
Namapování primitiva do cílového n-úhelníka bude závislé na určené orientaci hran. Příklad orientace n-úhelníků v primitivu
i\AA
Funkce konstruující polygon   vpoly (Ví, V?.....VN), kde V jsou vrcholy tvořící polygon.
Pak definici primitiva z příkladu zapíšeme jako: vpoly(A, EV(A, B, a), EV(A, C, a» vpoly(B, EV(B, C, a), EV(B, A, a» vpoly(C, EV(C, A, a), EV(C, B, a»
Přeznačme vrcholy A,B,C jako indexované Ví, V2, V3: vpoly(V,, EV(V,, V2, r), EV(V,, V3, a» vpoly(V2, EV(V2, V3, r), EV(V2, V,, a» vpoly(V3, EV(V3, Ví, r), EV(V3, V2, a»
Vrcholy tvoří posloupnost, která je kruhově vázaná.
Této skutečnosti využije další funkce,která postupně vyhodnotí své parametry pro všechny vrcholy Vi v cílových n-úhelnícíh.
Definice všech vrcholů primitiva z minulého příkladu:
Di=A
C
Ei = EV(A, B, a)
F, = EV(A, C, a)
D2 = B
E2 = EV(B, C, a)
F2 = EV(B, A, a)
D3 = C
E3 = EV(C, A, a)                                                                     D
F3 = EV(C, B, a)                                                                   A                                                             B
Poznámka: Vrchol A lze definovat pomocí funkce EV jako: A = EV(A, cokoliv, 0), stejně tak i vrcholy B a C. Funkci EV lze použít pro určení vrcholů obecného polygonu. Zavedeme funkci, která zkonstruuje ze zadaných vrcholů polygon.
10
Funkce vloop() pro opakování dílčí konstrukce Funkce vloop(a, b, c, ...) v každém kroku vyhodnotí parametry a zvýší indexy vrcholů, po přetečení pokračuje znovu od prvního indexu a končí po projití všech N indexů.	
Příklady pravidel: Výplně rohů = vloop(vpoly(V,	EV(Vh VM, a), EV(V;, VM, a»
Výplně rohů pro a = 0.25, 0.5, 0.75	AAA
Vepsání = vpoly(vloop(EV(V,,	Vm, a»
Vepsání pro a = 0.25, 0.5, 0.75	AAA
	12
Jednoduchými úpravami parametrů dostaneme různé varianty primitivů, aniž bychom museli měnit jejich definici (viz implementace). Zavedeme poslední funkci, která dovolí definici vrcholu n-úhelníka i mimo hranu.
Kombinovaná hranová funkce EC()
Funkce EC je vlastně dvojitou aplikací funkce EV. Složená funkce: Va2 = EC(VM, EV( V,, VM, C(1), a2).
Hvězda = vloop(vpoly(V „ V M, EC(V M, EV(V „ V M, 0,5), a»
Hvězda
pro a = 0.25, 0.66, 0.75
Funkce EC definuje bod kdekoliv uvnitř n-úhelníka a nepotřebuje další pomocné body
Pak definoval množinu funkcí: VPia <-EV(Vi, Vi-1, aVM) VMia<-EV(Vi, Vi+1,aVM) VCia <- EV(Vi, C, aVC) MCia <- EV(Mi, C, aVC) VPiß <- EV(Vi, Vi-1, aVM + ßVM) VMiß <- EV(Vi, Vi+1, aVM + ßVM) VCiß <- EV(Vi, C, aVC + ßVC) MCjß <- EV(Mi, C, aMC + ßMC)
Geometrický význam rovnic:
<1

Využitím uvedených funkcí konstruoval Glassner složitější substituční pravidla:
Glassnerovy klonovací substituce
Inscribe, Corners, CutCorners:
Inscribe: poly(vloop(EV(Vj, Vj+1, a)))
Corners: vloop(poly(EV(Vi, Vi-1, a), Vi, EV(Vi, Vi+1, a»
Cut Corners: poly(vloop(EV(Vj, Vj-1, a), EV(Vj, Vj+1, a»
AAA A
AAA
Pravidla pro mnohoúhelníky
Pravidla používají vrcholů mnohoúhelníka Vi, těžiště C a středových bodů M.
Těžiště C je dáno mnohoúhelníkem, středové body M získáme funkcí EV():
Vstup
Výstup
Zápis
vrchol Vi, vrchol Vj+1 vrchol (střední bod hrany) M'i<-EV(Vi, Vi+1, 0.5)'
Dále Glassner zavádí dva skalární koeficienty a a ß pro umístění vrcholů na hranách. Hodnoty a a ß jsou navzájem disjunktní.
Substituce Dilate, Frame, Fan a Star
Dilate : poly(vloop(VCja))
Frame : vloop(poly(Vj, VCia, VCj-1a, Vj-1))
Fan     : vloop(poly(Vj, VMja, C))
Star    : vloop(poly(Vj, VMja, C), poly(Vj, MCj+1ß, C»
AÄM AA
AAAAÁ AA
Glassnerovy mutační substituce
Zařazuje je na konci, protože obecné n-úhelníky nemají triangulační pokračování!!!
Mutační substituce se zachovanou triangulací
Abychom nemuseli dělat dodatečnou triangulaci útvaru vzniklého po aplikaci mutačních pravidel, zavedeme podmínku, že primitiv se musí skládat pouze z trojúhelníků.
Tato podmínka nepředstavuje žádné omezení:
Př.
Glassnerův primitiv M4
Pokud bude barva čar i výplně stejná, pak trojúhelníky nebude vidět. Nadále bude zachována trojúhelníková síť, na kterou můžeme znovu aplikovat libovolné substituce. Vhodné střídání klonování a mutací může vytvořit další zajímavé výtvarné efekty.
Okno návrháře substitučních primitivů   DP - Martin Horák 1999/2000
MJ.HJUIi.lJ.I..UlJ»Ji.l.lll..llll!J4I.I.UlHiJI.....IJ'U-WJWHmmnSS^^^^M                                  inlxl			
Primitiva			
		"■■'vraz aktuálního primitiva	
•Ak		F0R_ALL_VERTEXES_FR0H HAIN D0_BEGIN INSERT_VEPTEX  0 INSERT_VERTEX EV  0  1  AVH INSERT_VEPTEX  GET_CEUTEP_0r_HAIH P0LY DELETE_ALL_VEPTEXE5 ENDF	
			
			
P                       -iJ «I 'I > I »I			
Globální poznámka		Proměnné aktuálního primitiva	
vlooptpolytVi, EV(Vi, Vi+1, aVIvI), C)		IVERTEX     C                 100.000     57.000 DOUBLE     AVH            0.500	
		Lokální poznámka	
Lü   _l     _ü	100	1	
Lü   _l     _ü	100              Barva     1		
LlI_I        jJ	10		
Vytvořené programové vybavení
DP-Petr Foukal 1993/94        ^i      /2\      £g\      AA      Jti      áoL.
Prav r 1             Fr»,]             Prw.J             Prw,i             Fr«í             Priv.l
-A   A   Ü-.   A   iř4   A


-----■ —^       Am     A     Vv,     A'Á     A     /í\
i i                i-.....■'
=^£ ě=e«,4 A A A A A
^^^^^™     ^^^^^™     ^~       .....                                            »'--!•/- 21            P-I.IV.Jtí           P'F.^.^II            I-IJU.Í1
■
4
«fsjsr
ásŕ9
Okno návrháře substitučních primitivů   DP - René Novotný 2000/2001
|Pri image at 215:243
Konstrukce primitiv se třemi trojúhelníky a zápis v programu PRI
niJ..u.i.i.iM.~,...i
Hlavní okno programu R. Novotného
nabídka
i- Ji-i
volba
tS< K^Pxf >Äfte&< fe^P^ľ >
^fc^jfl&te^tftij&tčfek
Soustava substitučních pravidel R. Novotného:
A	AA	A	A	A	A4	ÄA	A
							
AAAAA				A	A	A	A
iAAAAAAAA
Tvary vstupních objektů:
K
Okno pro definování vstupních a výstupních parametrů.
Okno pro vstup mutačních substitucí a náhodný výběr primitiva.
Př. Kombinace substitucí:
^*i>*t>*t!
Př. Variace v 3D
mmmm
«L,
Ukázka aplikace substitucí
mozaika v rovině
mozaika na kouli
ORIGAMI
diagram skládání jako generátor dělení plochy
struktura hran
po osmém kroku skládáni
Diagramy známych figur (modelu)
			
			
		\	
			
		x\	
	Jjž§	IM.	
Efekt opakovaní modulu
Výchozí figury
Pokračování diagramu
Mozaika origami je geometricky určena několika základními trojúhelníky Př. Dvojice pravoúhlých trojúhelníků čtvercového modulu „startovacího papíru"
Poznámka: Podobně můžeme dekomponovat ostatní startovací moduly
Téměř všechny figury lze vytvořit pomocí dvou pravoúhlých trojúhelníků
Tři typické moduly:
Poincarého disk
Hyperbolický prostor neumíme přímo reprezentovat v Euklidově prostoru. Tento problém řeší několik modelů.
Poincaré modeluje hyperbolický prostor konformním zobrazením dovnitř kruhového disku.
Objekty v obou prostorech jsou si „zhruba podobné".
Přímky se deformují v kruhové oblouky protínající disk pod pravým úhlem.
Rovnoběžky se protínají na obvodovém disku, ...atd.
{i e i? :W<1}
Tato geometrie přináší mozaikám nové výtvarné možnosti.
Nová (neeuklidovská) geometrie - kolem r. 1825 Otcové: Karl Friedrich Gauss, Janosz Bolyai a Nikolaj Lobačevskij
Hlavní „novoty":
Součet úhlů v trojúhelníku je menší než 180°.
Bodem lze vést nekonečné množství rovnoběžek k dané přímce atd.
Připomeňme:   Existují jen tři regulární dláždění v Euklidově rovině {4,4}; {3,6}; {6,3},
{p,q} je Schläfliho symbol - q p-úhelníků se dotýká ve společném vrcholu.
Podmínky geometrií:                1/p + 1/q = 1/2 - Euklidova
1/p + 1/q < 1/2 - hyperbolická
1/p + 1/q > 1/2 - eliptická
Poznámka:
Pro vrcholový úhel p-úhelníka platí cc=3607q, součet vnitřních úhluje tedy p3607q.
Rozložíme-li p-úhelník na trojúhelníky, pak pro součet úhlů platí (p - 2)180"
a odtud p3607q = (p - 2)180". Dělíme p360" a přidáme 1/p, dostaneme podmínku geometrií.
Podmínkou konstrukce hyperbolických mozaik je znalost příslušných grup symetrií a jejich transformačních matic (nic nového!).
34
Poincaré-Minkowského zobrazení	
Weierstrassův (Minkowského) model hyperbolického prostoru	
hnmí čásl hvpcľbnltJidii (I I~|	
X \^£>C N=D	
vj.                  ľíjiiiairdio disk	
Bod X v trojdimenzionálním souřadném systému je definován jako  X-Na X se dá pohlížet jako na vektor z počátku souřadnic   O = (0,0,0) do	X= [x^^^i]-
Definujeme hyperbolický skalární součin vektorů X a ľ jako   <X, ¥> = x^ + x^ - x^y}. Hyperbolický prostor je reprezentován množinou bodů X, Y, pro které platí   <X, ¥> = -1, což dává v euklidovském prostoru E3 dvojdílný rotační hyperboloid o rovnici   X j t ^2 — X$---1	
pro x3 >= 1. Hyperbolický bod ATnavíc splňuje .v, > 0, takže každý hyperbolický bod bude ležet na horním dílu hyperboloidu označeném //:.	
	36
Trojdimenzionální Weierstrassuv model můžeme projekcí převést na na Poincareho kruhový model středovou projekcí hyperboloidu do bodu [0,0,-1], při níž jako průmětna slouží rovina xy.
Každý bod A hyperboloidu při promítání protne rovinu xy a tento průsečík B je odpovídajícím bodem Poincareho disku.
Souřadnice B ze souřadnic A získáme pomocí Poincaré-Minkowského zobrazení:
\x,y,
_^____y_
l + z'l + z
Pro zpětnou projekci bodu B = [x, y] ležícího uvnitř Poincareho disku na hyperboloid platí:
2x  2y  \ + x2 + y2
(x,yj^\—,-^-,--------<—\   pro
s     s           s
S=l-X2-y2
Existence uvedených převodních vztahů je základním předpokladem pro konstrukci hyperbolických mozaik.
Obecná trojúhelníková fundamentální oblast dlaždice
osa hrany (edge bisector) sinhq
coshq+1
.0
hrana dlaždice (edge)
B-----[cosp ■ rad2, sinp ■ rad2\
přepona (hypotenuse)
Př. Celý motiv hyperbolické dlaždice a jeho fundamentální oblast:
Bod S[0,0] je střed Poincareho disku
Dlaždice se středem S[0,0] se nazývá centrální p-úhelník.
Konstrukce hyperbolického dláždění ( D. Dunham, R. Charvát a další)
Nejdříve musíme zapsat vrcholy, hrany a pomocné geometrické entiity p-úhelníkových dlaždic pomocí funkcí, které budou mít v argumentech hodnoty p a q.
Poznámka: Pro zjednodušení zápisu zavedeme substituce.
cosp — cos
P
(in
■ \x\ stnp — sin —  ,
(*
cosq — COS —
(7
sin2p = sin ----  ,          coshq =-----— (          sinhq = J coshq? -1 ,          cosh2q = 2 ■ coshq1 -1,
\p)                        sinq
sinh2q = 2 ■ sinhq ■ coshq ,     cosh2 =
í siľtp j ŕ sinq j {cospJ (cosqJ
sinh2 - \cosh21 -1 , rad2 =
sinh2 cosh2 +1
Pak sestavíme transformační matice pro manipulaci s dlaždicemi. Užité transformace definuje stejně jako u Eulerových mozaik vzor mozaiky, tedy příslušná grupa symetrií.
Jako dříve u tapetových mozaik budou dlaždice dekomponovatelné na fundamentální oblasti.
Fundamentální oblasti jsou manipulačně omezeny stejně jako celé dlaždice, vybranou grupou symetrií (vzorem mozaiky). S výhodou je využijeme pro definování transformací.
Transformační matice fundamentální oblasti Reflexe:
reflectEdgeBisector
1      0     0)
0-10
Q     0     lj
Poznámka: Zrcadlení podle osyx.
reflectPgonEdge
reflectHypotenuse   =
'—cosh2q   0    sinh2q^
0          1         0
y-sinh2q    0   cosh2q
'cos2p      sin2p      0^ sin2p    - cos 2/7   0 0             0          1
Rotace skládáme z reflexí:
úhel rotace
2n rotateP = reflectHypotemtse ■ reflectEdgeBLtector           —
P
úhel rotace
rotateQ = reflectPgonEdge ■ reflectHypotenuse
9
roíateEdge = reflectEdgeBisector ■ reflectPgonEdge    n
úhel rotace
Replikační algoritmus
Chceme-li vykreslit k dané dlaždici jejího souseda z vyšší vrstvy, musíme nejdříve fundamentální oblast přemístit transformacemi k hraně, ve které spolu obě dlaždice sousedí.
Pro jednoduchost vykresleme dlaždice s motivem obsahujícím jen zobrazení fundamentální oblasti.
mozaika {6,4}
Vrstvy mozaiky
Nultá vrstva mozaiky obsahuje pouze centrální p-gon.
Mozaika je rozšířena z fc-té vrstvy do vrstvy k+1 zrcadlením nebo rotací motivu (dle příslušné grupy symetrií) podél hran a vrcholů společných oběma vrstvám.
Proces může teoreticky trvat donekonečna, prakticky stačí čtyři až pět vrstev.
Příklad vrstev mozaiky {6,4}:
O
42
Fundamentální oblasti a grupy symetrií podle D. Dunhama (Autor ukázek R. Charvát)
Grupa symetrií \p, ol
44
Grupa symetrií \o, a\+
Fundamentální oblast tvoří hyperbolický trojúhelník SBA Grupu symetrií [p, q]+ tvoří transformace: -rotace řádu p kolem středu dlaždice o úhel 2it/p stupňů -rotace řádu q kolem vrcholu dlaždice o úhel 2nlq stupňů -rotace kolem středu hrany dlaždice o úhel 2n/2.
Grupa symetrií \p, o+l
Fundamentální oblast je tvaru draka, tvoří ji dva malé pravoúhlé hyperbolické trojúhelníky přilehlé
k témuž vrcholu dlaždice (SDBC). U této grupy symetrií musí být p sudé.
Grupu symetrií [p, q+] tvoří transformace:
-zrcadlení podle osy hrany dlaždice SC
-rotace kolem vrcholu dlaždice
o úhel 2jt/qr stupňů
Grupa symetrií \p+, ol
Fundamentální oblast tvoří opět hyperbolický trojúhelník SBA.
Aby se mozaika vykreslovala správně, musí být u této grupy symetrií q sudé.
Grupu symetrií [p+, q] tvoří transformace:
-rotace kolem středu dlaždice o úhel 2nlp stupňů
-zrcadlení podle hrany dlaždice AB.
Příklady 1: Regulární mozaiky pro různé hodnoty/», q - nevybarvene
A - {3,9}, B - {4,6}, C - {6,4}, D - {7, 7}, E - {9, 3}
Příklady 2: Regulární hyperbolické dláždění - vybarvené dlaždice
Duální hyperbolické dláždění Př. {5,4}                                                              Př. {4,5}
Kvaziregulární hyperbolické dláždění
Podobně jako v Euklidově rovině můžeme spojováním středů stran p-úhelníků regulárního dláždění vytvořit kvaziregulární dláždění. Př. kvazi-{5,4}                                                      Př.  kvazi-{3,7}
►v^;

^S
Různé vybarvení (nevybarvení) p-úhelníků dává další možnosti.
Příklady 3:.
{3,12}
{12,3}
KRUHOVÉ LIMITY M. C. ESCHERA (studuje a doplňuje je D. Dunham 1981)
Největší reklamu hyperbolickým mozaikám udělal M.C. Escher „kruhovými limitami".
Podnícen setkáním v roce 1954
s H. S. M Coxeterem v Amsterodamu,
a článkem „Crystal Symmetry
and Its Generalisations".
Eschera zaujal obrázek trojúhelníkového dláždění v hyperbolické rovině.
trojúhelníky   30 - 45 -90.
Kruhová limita-Ryby   Circle Limit 1  {6,4} 1958
MC. Escher's "cirde Umu i" e 2003 Cordon Art   Dunhamova rekonstrukce - centrální dlaždice B. v.-Baam-Holland. All rights reserved.
Escherova kruhová limita IV - Ďábli a andělé {6,4}    varianta Radka Charváta
Čtyřbarevná Escherova kruhová limita - Ryby Circle Limit 3    {8,3}
Dunhamova varianta {10,3}
Komunikační okna programu Radka Charváta
MH-tBII-
!l|iuiJmiJ|ijriLinnHiKj*rrt hvninl   |i     ^J
r IK.IJI,    .dínoo*      T (PJf|   irtViím, flioLT |i pn rf
J      torů*    |
* <^ IlJ /> * ';-,




Diaw tťi ioWkhi      |
M. C. Escher neměl počítač, jak konstruoval své mozaiky? Historická pomocná konstrukce pomocí kružítka a pravítka Podrobný rozbor viz. lit.:
Chaim Goodman-Strauss:
„Compass and Straightedge in the
Poincaré Disk"
The Matematical Association
of America, January 2001,
pp. 38 - 49.
Pomocná konstrukce H. S. M. Coxetera,
(scaffolding),
která inspirovala Eschera.
Poznámka:
Chce to velký arch papíru a trpělivost!!!
Využijeme symetrie:
Získali jsme první vrstvu mozaiky
Připomeňme:
Póly hyperbolických přímek (kružnic uvnitř disku), které se protínají v jednom bodě, mají společnou poláru (leží na jedné přímce vně disku).
Další vrstvu získáme násobnou rotací kolem A o 7t/7:
Získali jsme druhou vrstvu:
Př. Konstrukce regulární hyperbolické mozaiky tvořené trojúheníky (p, q, 2), Zadejme trojúhelník o vniřních úhlech jt/7, ti/4, jt/2
Začínáme středem Poincarého disku O, vrcholem pomocného p-úhelníka A a úhlem p = 7ďl. Limitní kružnice vyplyne z konstrukce.
trojúhelníky OQP a PQR mají vnitřní úhly 71/7,7t/4, 71/2
Nyní potřebujeme hyperbolickou úsečku BC. Hledáme její pól P.
Konstrukci průsečíku zlepší skutečnost, že P leží na symetrále úhlu p = 7ti7.
Stejně jako dříve
pokračujeme rotací kolem bodu C:
Získali jsme třetí vrstvu: atd. ...
Zobecněni - viz. Ch. Goodman-Strauss.