BIOART Geometrie živých přírodních tvarů Tvar objektu známe, známe-li jeho rozměr ve všech směrech. Velikost, jako základní charakteristika živého je z geometrického hlediska nepodstatná (invariantnost k měřítku), z fyzikálního hlediska je velikost zásadní. Objem roste s třetí mocninou velikosti, průřez kostí roste s druhou mocninou velikosti a určuje mechanickou únosnost živého. Povrch respektuje energetické poměry. Tepelné ztráty jsou úměrné velikosti povrchu a jim odpovídá spotřeba potravy, stavebního materiálu apod. Poměr povrch / objem ovlivňuje tvar povrchu a jeho prostorové uspořádání. Tvar živého je i přes symetrie zpravidla nerovnomocný, atd. Poznámka: Geometrii živého objektu umíme někdy modelovat (generovat), pokud umíme matematicky zapsat zákony jeho vzniku, resp. vývoje. MOC TOHO NEUMÍME!!! D'Arcy Thompson zjistil, že rozmanitost tvarů je možné redukovat použitím transformací v různých geometriích. Př. Afinní geometrie: grupa lineárních zobrazení Matematika se geometrii živého příliš nevěnovala. Skot D'Arcy Thompson: On Growth and Form - Kniha vyšla poprvé r. 1917. D'Arcy Thompson (1860-1948) je zakladatelem Biomatematiky. Poznámka: Kniha vyšla také r.1968 v nakladatelství Cambridge University Press. Projektivní geometrie: u v = ( aio = ( asío + a asix + aiev)/(3oo + 3oiX + aeeV)/<3oo + 3oiX + 3oaV> + aoeV) Transcendentní geometrie: fee sin joiLam na, | f E*fE-jÉ ... ™T T^t 1 . a řada dalších geometrií. Př. Transformace Thompson: Scan/s sp. Program kvadratická mapa: Na počest prof. Thompsona jeho pokračovatelé na School of Mathematics and statistics University of St Andrews ve Skotsku vytvořili interakční editor: /ŕc iŕ*" 3 Sííy £ T v i 0 /ŕ, í? — ^ d í- í J J Choose picture: | Rrgyropelecus olfersi S Shov grid F(x, yJ - tp(x, y), qtx, y)) where x-range:[ j^3 ltoí IT 1 y-range:[ -TŠ 1 ta I IT p(x. y) = |1..aT|^|.1..Urřy q(x. y) = k^VW | ldBntltgm.p| !T.flT.|y-|..TiT.|* 1-T-Tl^ V"*f Change both ranges: |< > | | Default ranges Line ------ ŕidth pj j .0.500.1 y and | clear Rate of change l .mm y OlO?^^^ Tvarovací funkce F(x,y) je kvadratická mapa s deseti volnými parametry. Proměnné p a q jsou polynomy 2st. ULITY, LASTURY, KLY, ROHY apod. Ilustrace z Thompsonovy Knihy: Ulita je záznamem historie organismu. Je soběpodobná a zachovává „stejný tvar" - tuto vlastnost má logaritmická spirála a její 3D varianty. 8 = tg(6)ln(r) Je to trajektorie lineárního dynamického systému. Rovnice 3D spirály v cylindrických souřadnicích 0,r, z- šnekovnice dB/dt = 1 dr/dt = ra dz/dt = bz a = cotg(a) a, b jsou parametry 6g ,rg, zg jsou počáteční podmínky Generující křivkou je oblouk elipsy s parametrem s a průvodičem p a poloosami a a c. x's = p(s)cos(s) ť = p{s)sm{s) kde P(*) = 2(s) sirr[s Pretransformujeme vektory b do /, t do ja n do k. yt{stS)= p{s)[by{3)cos{s)+ n^mis)) z(s,S)=p[slbw{s)cQÍs)+nM[s)nn{s)) G. Lucca modeluje ulity tažením řezové (generující) křivky po tvořící (strukturální) křivce Zvolíme dva ortogonální systémy souřadnic x, y, z s počátkem O a jednotkovými vektory i,j, k a „tečný" s jednotkovými vektory t, n, b. ~ď~Š tx d% dx. d& tx d% d& n=bxt Obě křivky zapíšeme v parametrickém tvaru. Strukturální křivku tvoří logaritmická spirála v parametrické formě s parametrem 6 (azimut), rs je průvodič. r,=r,(.?) = Body na povrchu ulity pak budou funkcí obou parametrů: Nerovnosti povrchu (vruby apod.) vytvoříme perturbací průvodiče elipsy. V bude jednoduchá zvolená funkce. Výsledky: Př. 1 x{s,&) = ev"fxg{s,S)+ x^S) z{Sí3)=e»>fzAS,3)+zs{3) p(s)- !(s) : + Y{s,$) > Př.2 OYVINDHA: Logaritmickou spirálu můžeme konstruovat i pomocí Fibonacciho řady, aplikované na sekvenci přikládaných čtverců. Př. Podle R. Knotta: Př. 3 Fylotaxie (rozmístění šupin na šiškách, kůře palem apod.) Útvary jsou rozmístěny na tzv. genetické spirále. Souřadnice n-tého útvaru jsou 0n = na, zn = ne, rn = konst. Rozvineme-li válcovou plochu do roviny, jsou nové souřadnice n-tého útvaru xn = nß- [nß], zn = ne, ß = a /2tt Dostaneme systémy spirál. Závorky značí přiřazení nejbližšího í celého čísla, takže -1/2< xn < %. Systémy spirál: 0,2,4,6,8,10 12, ... 1,3,5,7,9,11,13, ... 0,3,6,9,12, 15, 18, .. 1.4.7, 10,13,16,19, 2.5.8, 11,14,17,20, 14 16 , 13 B. 6* 1* 20 . 12 * 10 5. 4, Nejzřetelnější jsou dva systémy spirál v opačných směrech, které jsou v 95% po sobě jdoucí členy Fibonacciho posloupnosti: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, ... Úhel a je tzv. zlaty úhel, který dostaneme rozdělením plného úhlu v poměru zlatého řezu. Zlatý úhel a = 222,5° a jeho doplněk ß = 137,5°. Kvítky slunečnice H. Vogel v roce 1979 sestrojil model slunečnice, založený na cyklotronové spirále. r() = cV polární souřadnice n-teho kvítku •/.*«,*,V.**.•'••','.'• jsou éi•'•>*.",''.**'.'•' •"!£•"•* *'•';•■"' r„ = c-Jn, 0n = na *;jjl;•:'.'/;/;".'."•*.'•'.'■:•*'•';, • • •• • t • • 2* • • • • » *»Í»*»ÍÉ* \ * "'.'.''• z ■*;!*■•* ■ *« '• • • • Plošná hustota je nezávislá na poloměru R. ,*»■",*,* *»**■"*"•*;'."*"*■"■* t* «* •'• V-''•'•!:'•>:■•:': .*:' .'•v'*.*.;;;; • i Základní spirálu neuvidíme, •/,■,*»••.*•'****I* ••••*••• ','■.'.' vidíme však systém Fn parametrických spirál. ."*"**."•*• ■*■*■*••',.* *■*•",• "•*!•"«'.■".'•.*■' 0 = 2nß(tFn + k)- 2ntFn.1 ,r = c~i(tF„ +k) "'V*.-'.'•'•V'; • • • *•:. ['•}}'<• '•'/."■,"'/! k = 0,1, 2, .... F„-i je číslo spirály '•'/*'.'.'■'•'•;,".'• !•''.**'/■'•'■'.'•'■' t >-k/F„ '•'•'•'.'•'•'•;'.'•'.'•'•''.•',•'/.' Poznámka: Vzpomeňte na model slunečnice jako L-systém. Př. 1. Šišky borovice (Suzan Goldstine): ■SH^ 2,5,5,0, 15, 21, 34-, 55, S?, 144, Stejně je možné najít Fibonacciho řadu ve spirálách semeníků některých rostlin. Př. Prezentace matematického studia filotaxie Přírůstky a úponky větvících se živých objektů mají také své zákonitosti: Do' = konat [růstový faktor] i = 0, 1, 2... n-1, n Ku _ Hl Hn ... „, Př. 2 (Organic Art) Někdy při tvorbě tvarů a textur stačí inspirace základními charakteristikami živého. Př. 3 (Kreace Bernta Lintermanna)