Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
MB101 ­ 10. demonstrovaná cvičení
Vlastní čísla a vlastní hodnoty
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
19.11. 2007
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete nějakou bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení
f : R3  R3, daného ve standardní bázi jako
(x1, x2, x3)  (x1 + x2 + x3, 2x1 - 3x2 + x3, 5x2 + x3).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete nějakou bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení
f : R3  R3, daného ve standardní bázi jako
(x1, x2, x3)  (x1 + x2 + x3, 2x1 - 3x2 + x3, 5x2 + x3).
Řešení. Pro určnení jádra řešíme soustavu
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 - 3x2 + x3 = 0
5x2 + x3 = 0,
ta má řešení (4, 1, -5) . Uvedený vektor zadává rovněž bázi jádra.
Bázi obrazu získáme např. zobrazením vektorů doplňujících bázi
jádra na bázi celého prostoru, tedy např. vektorů (1, 0, 0), (0, 1, 0),
dostáváme bázi ((1, 2, 0), (1, -3, 5)) 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete matici lineárního zobrazení z příkladu 1. v bázi
((1, 0, 1), (1, 1, -1), (-1, -1, -1)).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete matici lineárního zobrazení z příkladu 1. v bázi
((1, 0, 1), (1, 1, -1), (-1, -1, -1)).
Řešení Matice přechodu ze dané báze ke standardní je
T =


1 1 -1
0 1 -1
1 -1 -1

 ,
zpět potom
T-1
=


1 -1 0
1
2 0 -1
2
1
2 -1 -1
2

 .
Matice zobrazení ve standardní bázi je
A =


1 1 1
2 -3 1
0 5 1


Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Matice zobrazení v dané bázi je potom
T-1
AT =


-1 3 -3
1
2 -3
2
3
2
-5
2
1
2
3
2


Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete matici rotace v kladném smyslu kolem osy y
(kartézského souřadného systému v R3) v bázi dané vektory
(

2
2 ,

2
2 , 0), (-

2
2 ,

2
2 , 0), (0, 0, 1).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete matici rotace v kladném smyslu kolem osy y
(kartézského souřadného systému v R3) v bázi dané vektory
(

2
2 ,

2
2 , 0), (-

2
2 ,

2
2 , 0), (0, 0, 1).
Řešení.



1
2 cos() + 1
2 -1
2 cos() + 1
2

2
2 sin()
-1
2 cos() + 1
2
1
2 cos() + 1
2 -

2
2 sin()
-

2
2 sin()

2
2 sin() cos()



2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice


-1
3 0 4
3
2
3 1 -2
3
2
3 0 1
3

 .
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
2 1
0 2
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Najděte ortonormální bázi prostoru V  R4,
V = (0, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1) .
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete matici zrcadlení v R3 podle roviny jdoucí počátkem a kolmé
na vektor (1, 2, 1).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete průnik podprostrorů V1  V2  R4, kde
V1 = (0, 1, -1, 1), (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0) a
V2 = (1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 0) .